矩阵十题【一】点的变换

来源：互联网发布：西安星河网络小贷编辑：程序博客网时间：2024/06/05 21:06

题目链接： http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=298

题目大意：已知n个点（n<10000），现在对所有点进行以下操作：

平移一定距离(M)，相对X轴上下翻转(X)，相对Y轴左右翻转(Y),坐标缩小或放大一定的倍数(S),所有点对坐标原点逆时针旋转一定角度(R)。

操作的次数不超过1000000次，求最终所有点的坐标。

首先我们要知道矩阵乘法的概念。

在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。

比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：

下面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：

一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，其时间的复杂性是O（m*p）。

矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。为什么它又满足结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。

然后话题继续回到本题。

若是n个点，进行m次操作。要是直接模拟的话时间的复杂度是O（m*n）。

现在我们来进行矩阵的介绍：已知每个点的坐标是（x，y），构造一个矩阵3*1的矩阵来表示点。具体图如下：

我们能利用矩阵把m次操作（也就是不同的矩阵）在O（m）（准确来说是O（9*m））的操作里合并为一个矩阵，然后将这个矩阵与n个点组成的3*1的矩阵进行乘法运算，其复杂度为O(n)。于是我们就把复杂度从O（m*n）降到了O（m+n）。想想还是挺神的，原来没有想到过这样的用法。

下面是代码：

分别构造出类似于以上图片上面的代码，然后相乘，关键是！！尼玛矩阵要左乘呀，卡了两小时！！！！！！！！！！！！！！！

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<cstring>#include<math.h>#define PI acos(-1.0)using namespace std;struct Mat{    double v[3][3];};Mat X,Y,M,S,R;Mat operator * (Mat x,Mat y)  //矩阵乘法{    int i,j,k;    Mat tmp;    memset(tmp.v,0,sizeof(tmp.v));    for(i=0;i<3;i++)        for(j=0;j<3;j++)            for(k=0;k<3;k++)                tmp.v[i][j]+=x.v[i][k]*y.v[k][j];    return tmp;}void out(Mat A){    for(int i=0; i<3; i++)    {        for(int j=0; j<3; j++)            printf("%.0lf ",A.v[i][j]);        cout<<endl;    }    cout<<endl;}int main (){    int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    double x[10005],y[10005];    char op;    Mat ans,org;    memset(org.v,0,sizeof(org.v));    for(int i=0; i<3; i++) org.v[i][i]=1;    ans=org;    Mat X,Y,M,S,R;    for(int i=0; i<n; i++)        scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);    for(int j=0; j<m; j++)    {        getchar();        scanf("%c",&op);        if(op=='X')        {            X=org;            X.v[1][1]=-1;            ans=X*ans;  //左乘！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！        }        else if(op=='Y')        {            Y=org;            Y.v[0][0]=-1;            ans=Y*ans;        }        else if(op=='M')        {            M=org;            double vx,vy;            scanf("%lf%lf",&vx,&vy);            M.v[0][2]=vx;            M.v[1][2]=vy;            //out(M);            //out(ans);            ans=M*ans;            //ut(ans);        }        else if(op=='S')        {            S=org;            double k;            scanf("%lf",&k);            S.v[0][0]=k;            S.v[1][1]=k;            ans=S*ans;        }        else if(op=='R')        {            R=org;            double ar;            scanf("%lf",&ar);            R.v[0][0]= cos(ar/180.0*PI);            R.v[0][1]=-sin(ar/180.0*PI);            R.v[1][0]= sin(ar/180.0*PI);            R.v[1][1]= cos(ar/180.0*PI);            ans=R*ans;        }    }    for(int i=0; i<n; i++)    {        Mat tem;        //memset(tem.v,0,sizeof(tem.v));        tem.v[0][0]=x[i];        tem.v[1][0]=y[i];        tem.v[2][0]=1;        //out(tem);        tem=ans*tem; //左乘！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！        //out(tem);        printf("%.1lf %.1lf\n",tem.v[0][0],tem.v[1][0]);    }}

0 0