二分图最大匹配基础总结
来源:互联网 发布:c语言平均值数组 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 06:02
今天学了最大匹配,感觉还是有点是非是懂,感觉大白上写的很详细。。所以写一下今天的总结感受\(≧▽≦)/
二分图:二分图是这样一个图,它的顶点可以分类两个集合X和Y,所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y。
二分图匹配:给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。
最大匹配:图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配:如果所有点都在匹配边上,则称这个最大匹配是完美匹配。
1.一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数
什么是最小点覆盖,我也在这里说一下:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖所有的边。
HDU 1150
HDU 1498
HDU 2603
2.最小路径覆盖=最小路径覆盖=|G|-最大匹配数
在一个N*N的有向图中,路径覆盖就是在图中找一些路经,使之覆盖了图中的所有顶点,
且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联;(如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点,
那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次);如果不考虑图中存在回路,那么每每条路径就是一个弱连通子集.
由上面可以得出:
1.一个单独的顶点是一条路径;
2.如果存在一路径p1,p2,......pk,其中p1 为起点,pk为终点,那么在覆盖图中,顶点p1,p2,......pk不再与其它的
顶点之间存在有向边.
最小路径覆盖就是找出最小的路径条数,使之成为G的一个路径覆盖.
路径覆盖与二分图匹配的关系:最小路径覆盖=|G|-最大匹配数;
HDU 1151
3.二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配
独立集:图中任意两个顶点都不相连的顶点集合。
HDU 1608
真正求二分图的最大匹配的题目很少,往往做一些简单的变化:
变种1:二分图的最小顶点覆盖
最小顶点覆盖要求用最少的点(X或Y中都行),让每条边都至少和其中一个点关联。
knoig定理:二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数(m)。
变种2:DAG图的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点,这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
结论:DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数(n)- 最大匹配数(m)
变种3:二分图的最大独立集
结论:二分图的最大独立集数 = 节点数(n)— 最大匹配数(m)
今天晚上又去问了问柴爷,虽说之前知道公式,但是不是很明白公式和什么时候用,今天算是小明白赶快写下来,最小路径覆盖既用最少的边覆盖所有的节点,因为之前给的一些联通的节点可以得到最大匹配,也就是说求剩下的节点所需要的最少的边数,因为为n*n的有向图里用,所以直接用节点-最大匹配即可,而最小顶点覆盖既,如例子,几个警察分别管理一些道路,问需要最少多少个警察便可以管理所有道路,既用最少的点覆盖所有的边,最大独立集便是在n*n的有向图里,如果你求出最大匹配数m,n+n-2*m/2=n+n-m(假如有m匹配数,既一定有一半的点无关,所以有关的便是2*m/2)
贪心优化:贪心建图之后,在查找无匹配边,假若没有则是最优化,如果有则更新
for (int j = 1;j <= n2;j++) for (int i = 1;i <= n1;i++) if (g[i][j] && !link[j]) link[j] = i;
增光路算法大概:选一个未盖点u做起点,设这个x为x节点,然后选择一条从u出发的非匹配边到达y节点v,如果v是未节点,则成功找到一条增光路,否则下一步从v走匹配边。因为一个匹配点恰好和一条匹配边邻接,设匹配点v的匹配边的另一端点vist[v],则可理解从u走到了vist[v],而这个vist[v]也是一个x节点,如果始终没有找到未盖点,则会扩展成一颗所谓的匈牙利树。
看的别人的博客写的两种算法
匈牙利算法:
#include <iostream> using namespace std;const int MAXN = 1001 ,MAXM = 1001 ;int n1,n2,m,ans; //n1,n2分别为二分图两边节点的个数,两边的节点分别用1..n1,1..n2编号,m为边数 bool g[MAXN][MAXM]; //图G邻接矩阵g[x][y] bool y[MAXM]; //Y集合中点i访问标记 int link[MAXM]; //link[y]表示当前与y节点相邻的x节点 void init() { int x,y; memset(g,0 ,sizeof (g)); memset(link,-1 ,sizeof (link)); ans = 0 ; scanf("%d%d%d" ,&n1,&n2,&m); for (int i = 1 ;i <= m;i++) { scanf("%d%d" ,&x,&y); g[x][y] = true ; } }bool find(int x) //是否存在X集合中节点x开始的增广路 { for (int i = 1 ;i <= n2;i++) if (g[x][i] && !y[i]) //如果节点i与x相邻并且未访问过 { y[i] = true ; if (link[i] == -1 || find(link[i])) //如果找到一个未盖点i中或从与i相邻的节点出发有增广路 { link[i] = x; return true ; } } return false ; }int main() { init(); /*for (int j = 1;j <= n2;j++) for (int i = 1;i <= n1;i++) if (g[i][j] && !link[j]) link[j] = i;//贪心初始解优化*/ for (int i = 1 ;i <= n1;i++) { memset(y,0 ,sizeof (y)); if (find(i)) ans++; } printf("%d/n" ,ans); return 0 ; }
Hopcroft-Carp算法:(这种方法我还没有用过,这个算法比匈牙利算法的时间复杂度要小,大数据可以采用这个算法)
const int MAXN=3000;const int INF=1<<28;int g[MAXN][MAXN],Mx[MAXN],My[MAXN],Nx,Ny;int dx[MAXN],dy[MAXN],dis;bool vst[MAXN];bool searchP(){ queue<int>Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=0;i<Nx;i++) if(Mx[i]==-1) { Q.push(i); dx[i]=0; } while(!Q.empty()) { int u=Q.front(); Q.pop(); if(dx[u]>dis) break; for(int v=0;v<Ny;v++) if(g[u][v]&&dy[v]==-1) { dy[v]=dx[u]+1; if(My[v]==-1) dis=dy[v]; else { dx[My[v]]=dy[v]+1; Q.push(My[v]); } } } return dis!=INF;}bool DFS(int u){ for(int v=0;v<Ny;v++) if(!vst[v]&&g[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1) { vst[v]=1; if(My[v]!=-1&&dy[v]==dis) continue; if(My[v]==-1||DFS(My[v])) { My[v]=u; Mx[u]=v; return 1; } } return 0;}int MaxMatch(){ int res=0; memset(Mx,-1,sizeof(Mx)); memset(My,-1,sizeof(My)); while(searchP()) { memset(vst,0,sizeof(vst)); for(int i=0;i<Nx;i++) if(Mx[i]==-1&&DFS(i)) res++; } return res;}
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