noip2005 一维采药---非恰 （01背包）

采药

描述

辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入

输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出

输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例输入

70 371 10069 11 2

样例输出

3

讲解：通过前面两篇文章的讲解，相信对采药的基本思路应当有一定头绪，我在这里要讲的是另一种更简洁的思路。

          我们在前两篇文章中，对于状态的定义都是恰用体积j，最后输出答案是还要枚举一遍，确实显得有点麻烦。为了偷懒，此时自然会想到在输出答案时，能否直接输出一个值，而不用枚举呢?如果要做到这个的话，显然 “恰” 的状态定义就不合适了。

         我们重新定义f[j]，表示时间为 j 时 所能获得最大价值，时间 j 不一定全部用完，那么最后的答案就是 f[t] ，而不用再枚举了。

         请仔细感受一下“恰”与“非恰”定义的不同。

程序演示：

#include<cstdio>#include<algorithm>#define maxn (1000+10)using namespace std;int t,m,f[maxn];void work(){  int i,j,v,w;  for(scanf("%d%d",&t,&m),i=1;i<=m;i++)    for(scanf("%d%d",&v,&w),j=t;j>=v;j--)      f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);  printf("%d\n",f[t]);}int main(){  work();  return 0;}

代码解析：枚举到第i个物品，如果不把第i个物品放入背包，则f[j]的最优值为max(f[j],f[j-1])；如果要把第i个物品放入背包，则f[j]的最优值为f[j-v]+w。但为何上面的状态转移方程中并没有f[j-1]呢？这要谈到最优性问题了。

                 我们对于f[j]的定义是时间为j 时的最优值，则有：（为了方便展示，这里以二维非恰的f[i][j]表示枚举到第i个物品，时间为j时的最优值）

                  f[i-1][j]>=f[i-1][j-1]

                  f[i-1][j-v]>=(f[i-1][(j-1)-v])

                  f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w);

                  f[i][j-1]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][(j-1)-v]+w);

        

        ===>f[i][j]>=f[i][j-1]

        ===>f[j]>=f[j-1]

   所以状态转移方程中没有f[j-1]。

   由上可知，只要我们保证i-1层的最优值，那么第i层必然也是最优的。初始状态，第0层的最优值全为0，由第0层的最优值可以得到第1层的最优值。。。。。以此类推，最终得到第m层的最优值。

                                 

        到此为止，对于01背包二维转一维的讲解也结束了。如果你还是存在疑惑，请对比三篇文章中的四份代码好好体会一下，如果代码有问题的话，个人建议最最好是自己出一个小数据，t<=10,m<=5比较合适，然后自己按照我的代码，模拟一遍电脑运行的过程，代码理解也就不是大问题了。

       有疑问的话，欢迎大家留言，这也有助于我继续完善背包dp这个专题。