数学分析教程（第三版）读后感

历时一年半，终于算是把常庚哲、史济怀两位老师编写的《数学分析教程》（第三版），配合着视频（对应于第二版的）看完了。
先说说什么是数学分析，什么又是高等数学？数学分析与高等数学的差别在于：数学分析是一个严格的系统，从基本的定义出发，讲清楚了所有相关内容的来龙去脉，重点在于体系的完整性，尽量向大家展示数学家们如何思考、构造、解决问题，即为什么这样算是对的；而高等数学，更多是教会你一些工程上常用的微积分知识如何计算，如何求导、如何积分、如何处理简单的级数。虽然讲这些内容计算时，也是讲了原理的，但是背后更深入的原理，比如一致连续性，有限覆盖定理，上下极限，求极限与求和何时可以交换次序，傅里叶级数为什么收敛等等就略去不谈了。对于一般的工科生，学一本高等数学，也就基本满足了以后课程和工作的需要了，由此更加可见高等数学编者的用心良苦，要在2个学期从庞大的数学分析中精选内容，对于微积分最宝贵的思想，要保留，对于其他一些需要严格的内容，模糊化（为了减少课时），最关键的计算，还得讲清楚。所以那些喷高等数学的人，等你成为过来人以后，就明白了。


再回到这本书本身。
先说优点吧，首先就是在没有引入实变函数、拓扑等内容的基础上，清楚、细致（除了实数那一块），自成体系的讲述了微积分的基本内容。没有那些讨厌的“这里不加证明的指出”。而且全书的错误也比较少，大多是引用其他定理时编号的错误，只有个别印刷错误。


其次，就是全书知识块非常明晰，1元微积分、多元微积分、级数3大块。分3个学期刚刚好。其中1元是基础，不仅要会算求导、积分，更重要的是理解极限、连续这些概念和积分中分割、求和、取极限的思想。其中“εδ”语言作为“量化”极限的语言，全书都会反复用到，更要熟练掌握，主要是相关的不等式放缩技巧。（以前上大学时，老师说不等式处理的难度要远远大于等式，现在看来果然是真理！）多元是对1元的自然扩展，但也得先讨论高维空间，在讨论微分和积分。其中由于在高维空间，所以又有了雅克比行列式、曲线积分和曲面积分以及场论的相关内容。这一部分其实我掌握的是比较差的，因为很少使用。而级数的讲解很好，从数项级数到函数项级数，再到反常积分和含参变量的积分一气呵成，而且他们之间有很多相似的内容和思路：先讨论是否收敛，然后是cauchy收敛原理和diriclet和Able判别法。对于函数项级数和含参变量的积分，都要使用一致收敛，然后讨论一致收敛到某个函数以后这个函数的连续、求导、积分性质等。
最后，相对于上一版，改进了一些问题的处理方法和一个证明错误，并调整了部分章节的顺序，个人觉得老师还是很用心想把这本书写好的。


缺点其实也是不少的：
1.读完以后感觉这像是1本老师写的书，而不是数学家写的书。原因何在？?全书内容相对比较多，其中不少内容绝对是可以砍去的。比如关于数值分析的内容，还有一些只在“生长点”上泛泛而论的内容。个人觉得，数学家写的书，应该内容再精炼一些，同比可以参考已故的龚升老师的《简明微积分》，还有一本就是大名鼎鼎的baby rudin。书中的公式、定理太多，拉长了学习的跨度绝对不是好事。我记得以前听龚升老师的讲座时，老师就旗帜鲜明的指出定理太多绝对不好，而应该突出主要，忽略次要，强调定理之间的关系，勾勒出学科的脉络即可。一味的追求大而全不一定好。其实计算机也有这方面的例子，著名的K&R，很多，但是说清楚了C语言几乎所有的问题。
2。傅里叶级数的顺序，感觉处理的思路跟函数项级数、反常积分、含参变量的积分不太一样，似乎放到最后会好一些。
3.从老师上课的情况看，书中是有一些内容需要补充的。首先是常微分方程，作为微积分的一个重要的应用；其次是空间直角坐标系，空间曲线、曲面，这是高维微积分的补充，它们应该被列入正文之中（这一点万恶的高等数学就做的很好），还有就是简单的代数知识，比如向量机、混合积以及行列式等等。以及一些常用的不等式（如果有些不等式你不会，在很多题都不会做的）、三角函数公式等，可以作为附录列出。尽量使得内容自包，不依靠别的书籍（这也是国外的大部头书的特点）。
4.龚升《简明微积分》中多变量积分和曲线曲面积分，讲的更加一气呵成，而这里讲的稍微有点拖沓冗长。书中的有些例子（包括习题）都与龚升的《简明微积分》一样，不知道是否有相互借鉴之处。
5.课后题包括练习题的难度我就不喷了，我一直觉得应该向一些国外的教材学习，增加题目的数量，划分难度和等级，以便于学生自学。

最后，我没有任何不敬，史济怀老师几十年如一日的教课肯定是了解学生的，而本书的第一作者常庚哲老师似乎是带奥林匹克竞赛的，面对的都是万里挑一的人才，应该对本科生教育这方面投入的经历比较有限，不过他似乎对于第二版关于伯恩斯坦多项式的内容比较擅长，不知道作为第一作者的他，到底对这本有多大贡献呢？

下集预告：

看完数学分析以后，打算看复变函数及应用，台湾国立交通大学的开放课程。有人肯定觉得奇怪，我一个码农，天天看数学书到底是为啥（看的又慢，又没法直接提高工资）。其实我是有一份长长的书单的，一部分是数学书，一部分是专业知识书，另一部分是计算机书，他们共同构成了我的知识体系和发展方向，现在已经结婚，家里事情也很多，但我希望我能够坚持下去。