POJ3621 Sightseeing Cows 分数规划 SPFA求最小环

题意：给点数边数点权wi和边权ci，求一个环，使得∑wi / ∑ci最大。

解：分数规划，设ans为答案，则二分时边权设置为mid*ci - wi，

1.     易证明所求环一定为一个简单环，因为两个环的点权和边权和比值若不同，可以只取大的，相同，取其一，

而且若不是简单环，那么点权更是会再少一个，使得比率更小，所以所求环一定是简单环，

那么边的w权值就可以是有序地任选入点或者出点，c权值就是本身的边权值。

2. 边权和<0 则mid<ans(mid*∑ci - ∑wi < 0 ==>> mid*∑ci < ∑wi ==>> mid<∑wi / ∑ci = ans),

……

然后依此进行二分的l，r修改。

3.     因为要spfa求一个正环，有正环则代表mid<=ans，而这又有点难求，所以我们可以将边权反建，就成了求一个负环，然后就好求了。

4.     可以每次spfa传入mid，然后对边权进行现处理，避免重新建图的代码复杂度，这样肯定会慢一点，但也只是常数，而且比新建图慢不了多少。

代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <queue>#define N 1200#define M 210000#define inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;struct Syndra{int v,next;double len;}e[M];int head[N],cnt;int n,m;double w[N];void add(int u,int v,double len){cnt++;e[cnt].v=v;e[cnt].len=len;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;}int spfa(double mid)//判断负环{int in[N],num[N],i,u,v;double dist[N],len;queue<int>q;memset(dist,0x43,sizeof(dist));memset(num,0,sizeof(num));memset(in,0,sizeof(in));q.push(1);dist[1]=0;num[1]=in[1]=1;while(!q.empty()){u=q.front();q.pop();in[u]=0;for(i=head[u];i;i=e[i].next){v=e[i].v;len=mid*e[i].len-w[v];if(dist[v]>dist[u]+len){dist[v]=dist[u]+len;if(!in[v]){q.push(v);in[v]=1;if(++num[v]>n)return 1;}}}}return 0;}int main(){//freopen("test.in","r",stdin);int i,a,b;double c,l,r,mid,ans;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){cnt=1;memset(head,0,sizeof(head));for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&w[i]);for(i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%lf",&a,&b,&c);add(a,b,c);}l=0;r=12000;mid=6000;for(i=1;i<=30;i++,mid=(l+r)/2){if(spfa(mid))l=mid,ans=mid;else r=mid;//if(spfa(mid))r=mid;//else l=mid,ans=mid;}printf("%.2lf\n",ans);}return 0;}

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Σwi/Σci