POJ 2480 Longge's problem(欧拉函数，积性函数)

来源：互联网发布：超级数据恢复注册机编辑：程序博客网时间：2024/05/17 06:54

题目： LINK

题意：给定n，∑gcd(i,n),1<=i<=n 。
如果求满足 gcd(i, n) == x的和，先要求出有多少个这样的i满足条件,结果是phi(n/x) 个，因为gcd(i, n) == x, 则i/x 和n/x应该互质,n/x的欧拉函数的值就是i/x的个数，也就是i的个数。
比较暴力的办法就是，枚举n的因子x ，x*phi(n/x)就是满足gcd(i,n) == x的和，对于每个因子的结果求和就可以.

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string>#include<vector>#include<cmath>#include<queue>#include<map>#include<set>using namespace std;#define INF 1000000000typedef __int64 LL;#define N 50001LL n;LL phi(LL n){LL ret=1;for(LL i=2;i*i<=n;i++) {if(n%i==0) {n/=i;ret*=(i-1); // p^k - p^(k-1)while(n%i==0) {n/=i; ret*=i;}}}if(n>1) ret*=n-1;return ret;}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt", "r", stdin);#endif // ONLINE_JUDGE    while(scanf("%I64d", &n) != EOF) {        LL ans = 0;        LL i ;        for(i = 1; i*i < n; i++ ) {            if(n % i == 0) {                ans += i * phi(n/i); ans += (n/i) *phi(n/(n/i));            }        }        if(i * i == n) ans += i*phi(n/i);        printf("%I64d\n", ans);    }return 0;}

还有就是利用积性函数.
对于欧拉函数，如果p是质数 phi(p^k) = p^k - p^(k-1) .
gcd是积性函数, gcd(x*y, n) = gcd(x, n) * gcd(y, n), (gcd(x, y) == 1) .
积性函数的和也是积性函数，所以F(N) = ∑gcd(i,n) 是积性函数
如果p是质数
F(p^r) = p^0*phi(p^(r-0)) + p^1*phi(p^(r-1)) + .... + p^(r-1)*phi(p^1) + p^r*phi(p^0) //利用上面所说的欧拉函数的性质
= r * (p^r - p^(r-1)) + p^r;
最终要求的结果 F(N) = F(p1^k1*p2^k2……pi^ki) = II (ki * (pi^ki - pi^(ki-1)) + pi^ki).

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string>#include<vector>#include<cmath>#include<queue>#include<map>#include<set>using namespace std;#define INF 1000000000typedef __int64 LL;LL n;int main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt", "r", stdin);#endif // ONLINE_JUDGE    while(scanf("%I64d", &n) != EOF) {        LL ans = 1;        for(LL i = 2; i*i <= n; i++) {            if(n%i) continue;            LL cou = 0, p = 1;            while(n%i == 0) {                cou ++ ; n /= i;                p *= i;            }            ans *=(cou * ( p - p / i) + p);        }        if(n != 1)  ans *= (n - 1 + n);        printf("%I64d\n", ans);    }return 0;}

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