POJ 2480 Longge's problem （欧拉函数+乘性函数）

Longge's problem

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Description

Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 

"Oh, I know, I know!" Longge shouts! But do you know? Please solve it. 

Input

Input contain several test case. 
A number N per line. 

Output

For each N, output ,∑gcd(i, N) 1<=i <=N, a line

Sample Input

26

Sample Output

315

题目意思很简单：给一个n，求所有的gcd（i，n）之和，其中1<= i <= n.

重要的是数论知识和数学分析。

大家莫急，请保证下面的知识都会了，才能解这道题。

知识：

① 乘性函数：如果对于任意的正整数n和m，且n和m互素，函数f()有f(n*m)=f(n)*f(m)。

② 如果一个函数f是乘性函数，那么它的和函数F(n)=f(d1)+f(d2)+....+f(dk)也是乘性函数，其中 di | n (即n%di==0）

③ 如果n和m互素，gcd(i,n*m)=gcd(i,n)*gcd(i,m)，所有gcd()函数乘性函数。

④ 设phi()是欧拉函数，即phi(n)表示小于n的正整数中与n素数的个数，欧拉函数phi()也是乘性函数。

⑤ 关于欧拉函数有定理：设p是素数，a是一个正整数，则 phi(p^a)=p^a - p^(a-1)。

分析本题：由③知，gcd()是乘性函数，那么本题给的形式是gcd()和的形式，所以由②得本题的函数是个乘性函数，那么我们就可以按乘性函数解了。

本题暴力肯定不行，我们就找捷径，请仔细看下面分析，注意到gcd(i,n)都是n的约数，而n的约数个数不多，我们可以按这个约数来分类：（与lrj《训练指南》P125对UVA11426题目的分析一样）

设p是n的一个约数，则会存在一些i，使得gcd(i,n)=p -->gcd(i/p , n/p) = 1，即i/p和n/p互素，那么一共有几个满足条件的i呢，phi(n/p)个！！且有几个这个的i就有几个p，所以结果就是p*phi(n/p)，然后对n的所有约数pi都求出来然后求和就是本题的答案，即答案是：f(n)=sum(p*phi(n/p)) ，p为n的因子。

可还有一个问题就是因为n太大，不能预处理出所有phi(i),所以我们只能拿着f(n)=sum(p*phi(n/p)) 找别的出路。

那么现在给出一个公式：f(n)=sum(p*phi(n/p)) ,那么f(p^r)=r*(p^r - p^(r-1) ) +p^r。    （依据⑤推导而来）

推导过程附在代码后面，有兴趣的可以看看，不错的。

有了这个公式，只需将n分解成 n=(p1^a1) * (p2^a2)*....*(pk^ak)，由①得：

f(n)=f(p1^a1) * f(p2^a2)*....*f(pk^ak)

做数论题重要的一般还是对数的分解处理。

#include <stdio.h>#include <string.h>__int64 quick_pow(__int64 a,__int64 b){__int64 res=1;while(b){if(b&1) res*=a;b/=2;a*=a;}return res;}int main(){__int64 i,res,cnt,n;while(scanf("%I64d",&n)!=EOF){res=1;for(i=2;i*i<=n;i++){if(n%i==0){cnt=0;do{n/=i;cnt++;}while(n%i==0);__int64 t=quick_pow(i,cnt);res*=(cnt*(t-quick_pow(i,cnt-1))+t);//直接按公式计算}}if(n>1)//别忘了这一步res*=(2*n-1);printf("%I64d\n",res);}return 0;}

公式推导过程（如果真想弄明白，就尽量用笔用纸跟着算算）：

f(n)=sum(p*phi(n/p)) ,那么f(p^r)=r*(p^r - p^(r-1) ) +p^r。

要用的公式：phi(p^a)=p^a - p^(a-1)。

p^r的约数的个数一共有r+1个，即p^0, p^1, p^2,....p^r

f(p^r) = sum(x*phi(p^r/x))

      = 1*phi(p^r)      +      p^1 * phi(p^(r-1))          +      p^2 * phi(p^(r-2))  +....  +    p^r * phi(p^0)

      =p^r-p^(r-1)    +      p^1*（p^(r-1)-p^(r-2)）  +  p^2*（p^(r-2)-p^(r-3)）   +    p^r

      =p^r-p^(r-1)    +      p^r-p^(r-1)                     +     p^r-p^(r-1) + （一共r个）+  p^r

      =r*（p^r-p^(r-1)）                                                                                         +  p^r