面试题32 从1到n整数中1出现的次数

统计在从1到n的正整数中1出现的次数

1、最直观的想法，求1到n中每个整数中1出现的次数，然后相加即可。而求每个十进制整数中1出现的次数，我们先判断这个数的个位数是否是1，如果这个数大于10，除以10之后再判断个位数是否为1，循环直至求出该整数包含1的个数。

代码如下：

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1. #include "stdafx.h"  
2. #include "stdlib.h"  
3. #include <iostream>  
4. #include <string>  
5. #include <stack>  
6. #include <math.h>  
7. using namespace std;  
8.   
9. //某个整数中1出现的次数  
10. int NumberOf1(unsigned int n)  
11. {  
12.     int number = 0;   
13.     while(n)  
14.     {     
15.         if(n % 10 == 1)       
16.             number ++;    
17.         n = n / 10;   
18.     }  
19.   
20.     return number;  
21. }  
22.   
23. //求1到n中所有整数中1出现的总次数  
24. int NumberOf1Between1AndN_Solution1(unsigned int n)  
25. {  
26.     int number = 0;   
27.     for(unsigned int i = 1; i <= n; ++ i)          
28.         number += NumberOf1(i);   
29.   
30.     return number;  
31. }  
32.   
33. void main()  
34. {  
35.     cout<<NumberOf1Between1AndN_Solution1(21345)<<endl; //18821  
36. }  

2、上面的思路有一个非常明显的缺点就是每个数字都要计算1在该数字中出现的次数，因此时间复杂度是O(n)。当输入的n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率很低。我们试着找出一些规律，来避免不必要的计算。

        我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段即1-1345和1346-21345（分段好处在于便于进行递归运算，因为1345位21345去掉最高位的结果）。

        先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10^4）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次（2*10^3，其中2的第一位的数值，10^3是因为数字的后四位数字其中一位为1，其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择，由排列组合可以得出总次数是2*10^3）。

        至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1345和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

        分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数10^4（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是10^4次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

基于前面的分析，我们可以写出以下的代码。在参考代码中，为了编程方便，我把数字转换成字符串了。

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1. #include "stdafx.h"  
2. #include "stdlib.h"  
3. #include <iostream>  
4. #include <string>  
5. #include <stack>  
6. #include <math.h>  
7. using namespace std;  
8.   
9. //1到n字符串中包含1的总个数  
10. int CharNumberOf1(const char *strN)  
11. {  
12.     int numFirstDigit=0,numOtherDigit=0,numRecursive=0;  
13.     int len=strlen(strN);  
14.     int firstDigit=*strN-'0';   
15.     if(len==1&&firstDigit==0)  
16.         return 0;  
17.     if(len==1&&firstDigit>0)  
18.         return 1;  
19.     //首位为1的个数  
20.     if(firstDigit==1)  
21.         numFirstDigit=atoi(strN+1)+1;  
22.     else  
23.         numFirstDigit=pow(10,len-1);  
24.     //其他位为1的个数  
25.     numOtherDigit=firstDigit*(len-1)*pow(10,len-2);  
26.     //递归的位为1的个数  
27.     numRecursive=CharNumberOf1(strN+1);  
28.   
29.     return numFirstDigit+numOtherDigit+numRecursive;  
30. }  
31.   
32. //1到n整数中包含1的总个数  
33. int NumberOf1(int n)  
34. {  
35.     char strN[50];  
36.     sprintf(strN,"%d",n);  
37.   
38.     return CharNumberOf1(strN);  
39. }  
40.   
41. void main()  
42. {  
43.     cout<<NumberOf1(21345)<<endl; //18821  
44. }