快速幂

来源：互联网发布：linux dump整个内存编辑：程序博客网时间：2024/06/03 07:39

是数论吧

我来说说是怎么回事吧。

你可以用10进制的，也可以用2进制的

显然二进制更为神奇，也更适合拿来装X，实际上二进制要优化的多

借用我看到一个例子来说明下了，由于我忘记来自哪里了，就不注明出处了……

A^6=A*A*A*A*A*A ------5次乘法

=（A*A）*（A*A）*（A*A) ------3次乘法

很显然他们是相等的，但是做的计算量却不同的。

这就是快速幂的核心思想：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数

那这样考虑取怎样的长度为一个单位，是两个还是三个，当n趋近于无穷大的时候，那么你取得单位将会很渺小，弱弱的如同1了。

感觉这样肯定是不能满足我们的需要了。

那么再看下面这个例子：

A^156=A^128*A^16*A^8*A^4;

（156）10=（10011100）2

很显然任意一个十进制的数都能转化成二进制，额，我好像在说废话

通常我们都会用除2的方式计算二进制转化，但是对二进制转化烂熟于心的人，

一般使用下面这种方法：

156=128+16+8+4；

因此有128=2^7,16=2^4,8=2^3,4=2^2;所以156的二进制就是在第八位上写个1，此处省略...嘎嘎...

二进制位为1的数位所代表的权值即是分解的结果

因此利用这个方法我们很容易想到方法吐舌头

有没有从上面的例子中得到启示

看看我从网上找来的的模板吧

// m^n % kint quickpow(int m,int n,int k){    int b = 1;    while (n > 0)    {          if (n & 1)             b = (b*m)%k;          n = n >> 1 ;          m = (m*m)%k;    }    return b;}

当然快速幂，除了求整数的还有一个很重要的应用，那就是

快速矩阵幂：

//HOJ 3493/*===================================*/|| 快速幂（quickpow）模板 || P 为等比，I 为单位矩阵|| MAX 要初始化！！！！||/*===================================*//*****************************************************/#include <cstdio>const int MAX = 3;typedef  struct{        int  m[MAX][MAX];}  Matrix;Matrix P = {5,-7,4,            1,0,0,            0,1,0,           };Matrix I = {1,0,0,            0,1,0,            0,0,1,           };           Matrix matrixmul(Matrix a,Matrix b) //矩阵乘法{       int i,j,k;       Matrix c;       for (i = 0 ; i < MAX; i++)           for (j = 0; j < MAX;j++)             {                 c.m[i][j] = 0;                 for (k = 0; k < MAX; k++)                     c.m[i][j] += (a.m[i][k] * b.m[k][j])%9997;                 c.m[i][j] %= 9997;             }       return c;}          Matrix quickpow(long long n){       Matrix m = P, b = I;       while (n >= 1)       {             if (n & 1)                b = matrixmul(b,m);             n = n >> 1;             m = matrixmul(m,m);       }       return b;}               /*************************************/int main(){    Matrix re;    int f[3] = {2,6,19};    long long n;    while (scanf("%I64d",&n) && n != 0)    {          if (n == 1)             printf("1\n");          else if (n <= 4)                  printf("%d\n",f[n-2]);               else {                      re = quickpow(n - 4);                      printf("%d\n",(((re.m[0][0]*f[2])                              + (re.m[0][1]*f[1]) + (re.m[0][2]*f[0])) %9997 + 9997) % 9997);                      }    }    return 0;}

这里再次感谢下网上的码友们的辛勤劳动，让我整理的如此轻松

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