NOJ 1017 乘积最大 (经典的区间dp)
来源:互联网 发布:安阳青峰网络 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 15:59
乘积最大
描述
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”,又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛,组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动,你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中,主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目:
设有一个长度为N的数字串,要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分,找出一种分法,使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时,为了帮助选手能够正确理解题意,主持人还举了如下的一个例子:
有一个数字串:312, 当N=3,K=1时会有以下两种分法:
1) 3*12=36
2) 31*2=62
这时,符合题目要求的结果是:31*2=62
现在,请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序,求得正确的答案。
输入
输入共有两行:
第一行共有2个自然数N,K(6≤N≤40,1≤K≤6)
第二行是一个长度为N的数字串。
输出
输出所求得的最大乘积(一个自然数),答案在long long数据范围之内。
样例输入
4 2
1231
样例输出
62
题目来源
NOIP 2000
题目链接 :http://acm.njupt.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1017
题目分析:经典的区间dp问题,两个二维数组mul和dp,mul[i][j]表示字符串第i位到第j位表示的数字,dp[i][j]表示前i个数字有j个括号时的最大值(dp[n][k]为最终答案)仔细分析不难得到状态转移方程:dp[i,j] = max(dp[i][j], dp[m,j-1] * mul[m+1,i]) j <= m <=i;
转移方程的解释:dp[i][j]为所有((前m个数有j-1个括号的值)*(第m+1位到第i位数字的值))的最大值。
由于k>0,先求得dp初始状态dp[i][0],然后通过转移方程便可得到答案。
分析一下样例的求解过程:
mul[1][1] = 1; mul[1][2] = 12; mul[1][3] = 123; mul[1][4] = 1231;
mul[2][2] = 2; mul[2][3] = 23; mul[2][4] = 231;
mul[3][3] = 3; mul[3][4] = 31;
mul[4][4] = 1;
dp初始化为 -1
dp[1][0] = 1; dp[2][0] = 12; dp[3][0] = 123; dp[4][0] = 1231;
dp[2][1] = 1 * 2 = 2;
dp[3][1] = max(1*23 , 12*3) = max(23 , 36) = 36;
dp[4][1] = max(1*231 , 12*31 , 123*1) = max(231 , 372 , 123) = 372;
dp[4][2] = max(dp[2][1] * 31 , dp[3][1] * 1) = max(62 , 36) = 62;
#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;int main(){ int n, k; char str[42]; int mul[42][42], dp[42][7], cnt; while(scanf("%d %d", &n, &k) != EOF) { memset(dp, -1, sizeof(dp)); memset(mul, 0, sizeof(mul)); scanf("%s", str + 1); for(int i = 1; i <= n; i++) { for(int j = i; j <= n; j++) { cnt = 0; for(int m = i; m <= j; m++) cnt = cnt * 10 + str[m] - '0'; mul[i][j] = cnt; } } for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = mul[1][i]; for(int j = 1; j <= k; j++) for(int i = j + 1; i <= n; i++) for(int m = j; m <= i; m++) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[m][j - 1] * mul[m + 1][i]); printf("%d\n",dp[n][k]); }}
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