[区间DP]乘积最大

题目：

今年是国际数学联盟确定的“2000-世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛活动，你的好朋友，XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用M个乘号将它分成M+1个部分，找出一种分法，使得这M+1个部分的乘积最大。

同时，为了帮助选手能够理解题意，主持人还举了如下一个例子：

有一个数字串：312，当N=3,M=1时会有两种分法：

① 3*12=36；

② 31*2=62.

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62.现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入文件：

第一行共有2个自然数N,M(2≤N≤40,1≤M≤6)

第二行是一个长度为N的数字串。

输出文件：

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积(一个自然数)。

输入样例：

4 2

1231

输出样例：

62

思路：

区间DP，状态转移方程：f[i][j] = max{f[i][j], f[k][j-1] * S};

f[i][j]代表的含义是，(i+1)长度（因为字符串下标从0开始的）的数字串 j 个乘号的最大乘积；

我们将长度为N的数字串分为两段，如下图所示，数字代表数组下标；

-------------------------------------------------------------------如下图所示----------------------------------------------------------------------------------------------------------

   (j-1)个乘号 无乘号（即常数）

—————————     ———————————

0    1    2    ……      k      k+1         ……            N-1            

-------------------------------------------------------------------如上图所示----------------------------------------------------------------------------------------------------------

一段是0-k的数字串，一段是k+1到N-1的数字串；

我们可以将0-k的数字串看做长度为(k+1)的数字串，(k+1)到(N-1)长度为(N-k-1)的数字串看做常数

那么我们就得到了状态转移方程：f[i][j] = max{f[i][j], f[k][j-1] * S};

即长度为(i+1)的数字串 j 个乘号的最大乘积 = max{其本身, 长度为k的数字串(j-1)个乘号的最大乘积 * 后半部分无乘号的常数}

代码：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <map>#include <string.h>#include <string>#include <vector>using namespace std;//状态转移方程 f[i][j] = max{ f[i][j], f[k][j-1] * S}//注意：a.substr(x,y)表示 a数组从第x位开始的长度为y的字符串const int N = 50;string a;int f[N][N];//f[i][j] 代表(i+1)长度的字符串j个乘号的最大乘积，i表示位置，i+1表示第几个int n, m;int turn(int x, int y){    return atoi(a.substr(x,y).c_str());}void dp(){    int i, j, k;    for(i = 0; i < n; i++)//初始化        f[i][0] = turn(0,i+1);    for(j = 1; j <= m; j++)        for(i = j; i < n; i++)            for(k = 0; k < i; k++)            {                f[i][j] = max(f[i][j], f[k][j-1] * turn(k+1,i-k));//i-k指长度            }}int main(){    scanf("%d%d", &n, &m);    cin >> a;    dp();    printf("%d", f[n-1][m]);    return 0;}/*4 21231--------62*/

反思：

1、错误代码：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <map>#include <string.h>#include <string>#include <vector>using namespace std;//状态转移方程 f[i][j] = max{ f[i][j], f[k][j-1] * S}const int N = 50;string a;int f[N][N];//f[i][j] 代表(i+1)长度的字符串j个乘号的最大乘积，i表示位置int n, m;int turn(int x, int y){    return atoi(a.substr(x,y).c_str());}void dp(){    int i, j, k;    for(i = 1; i < n; i++)        for(j = 2; j <= i, j <= m; j++)        {            for(k = 2; k <= i; k++)                f[i][j] = max(f[i][j], f[k][j-1] * turn(k+1,i));        }}int main(){    scanf("%d%d", &n, &m);    cin >> a;    dp();    printf("%d", f[n-1][m]);    return 0;}

可以注意到，dp()函数出问题了，还是初始化掌握的问题

2、介绍一下atoi(a.substr(x,y).c_str());（作用是截取字符串变整数型，截取的是a数组从第x位开始的长度为y的字符串；

atoi(a.substr(x,y).c_str())，其里面有三个函数，分别是atoi(), substr(), c_str();

atoi()函数原型为： int atoi(char *str)，用途是将字符串转换成一个整数值，str是待转化成整数值的字符串，成功则返回转化后的整数值，失败返回0；
substr()函数原型为：basic string::substr(string,start,length)，也可把string移到外面，为string &a,a.substr(start,length)，其中a是待截取的字符串，start表示从截取开始的前一位,length表示截取长度，例如string &a="hello world",则a.substr(6,5)=world.
c_str()函数原型为：const char *c_str()，如果要将string对象，转化为char*对象，c_str()提供了这样一种方法，它返回一个客户程序可读不可改的指向字符数组的指针。


所以t = atoi(a.substr(x,y).c_str())的作用就是,截取string型的对象啊，并转化为char*对象，然后将此字符串转换成一个整数值，赋值给t（t是int型）；

注：

参考博客地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_3c7125230101afu4.html