数据结构与算法学习之路：LIS——最长递增序列的动态规划算法和二分思想算法

一、最长递增序列的问题描述：

求一个整数序列的最长递增子序列，子序列不要求是连续的。例如：

Input：4,6,9,6,7,6,3,8,10；Output：5

二、解决方法：

1、用动态规划的方法解决。从问题我们可以知道，我们最终得到的最长递增子序列，其任意一段子序列也是对应序列中的最长子序列。这样说可能不好理解，就以上面的例子来说：

最长子序列为：4，6， 7， 8， 10。在这段子序列的子序列里选一个，例如：4，6，7。则4，6，7也是4，6，9，6，7，6，3这段序列的最长子序列。

对于动态规划思想，我们最重要的是找到状态和状态转移方程，那我们来看看这里怎么得到这两个关键东西：

假设，nums={4,6,9,6,7,6,3,8,10}，f(x)表示前x个数以nums[x]结尾的序列中，最长子序列的长度，那么：

f(1)=1；f(2)=max{f(1)+1，1}=2；f(3)=max{f(2)+1，1}，……以此类推。这里或许有人问了，为什么是f(x-1)+1和1比较啊？原因很简单：以f(2)为例，f(2)=f(1+1)，而f(1)=1，也就是说，f(2)的结果是和f(1)关联的，而f(2)本身具有一个初始值1，根据问题要求f(2)的最终值应该是通过f(1)运算所得值和它的初始值选大的那一个。后面的也就以此类推了。

2、这种方法非常巧妙，主要思想是这样的，我不管你的序列是由什么组成的，我只在乎这个序列的长度是多少。于是我创建一个数组d[length]，d[0]用来存储最长序列长度，d[i]表示最长递增序列长度为i时，序列的结尾元素。通过二分查找不断的为元素找插入的位置，构成一个最长序列。

这种解法的关键在于：我们要获得的最长递增序列，事实上只要保证每个位置的数字足够小，而且有序，那么得到的自然是最长子序列。说的可能不太清楚，大家可以通过代码感受一下我的意思。

三、代码：

1、O（n^2）的DP算法

int lis1(int* nums, int length){int lis_len = 1;int d[9];for (int i = 0; i < length; ++i){d[i] = 1;for (int j = 0; j < i; ++j)if (nums[i] >= nums[j] && d[i] < d[j] + 1)++d[i];if (lis_len < d[i])lis_len = d[i];}return lis_len;}

2、O（nlogn）的二分思想算法

int lis2(int* nums, int length){int d[9];int mid, left, right;d[0] = 1;d[1] = nums[0];for (int i = 1; i < length; ++i){left = 1;right = d[0];while (left <= right){mid = (left + right) / 2;if (nums[i] > d[mid])left = mid + 1;elseright = mid - 1;}d[left] = nums[i];if (left > d[0])++d[0];}return d[0];}