Dijkstra算法学习笔记（1）

   Dijkstra算法（单源最短路径）

      单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

   假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

   由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.直到U=V，停止。

带松弛技术的模板：

<pre name="code" class="cpp">/*Dijkstra求单源最短路径*/#include <iostream>#include <string.h>#include <cstring>#include <stack>using namespace std;#define M 100#define N 100const int INT_MAX=1000000;// 此处最大值要足够大！！！int matrix[N][M];      //邻接矩阵,int n,e;//表示输入的顶点数和边数int dist[N];//dist[i]记录V0到i的最短距离int path[N];//path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。用于求出整个最短路径bool visit[N];//判断点是否走过。void DijkstraPath(int v0)   //v0表示源顶点{    int i,j,k;    memset(visit,0,sizeof(visit));memset(path,-1,sizeof(path));memset(dist,INT_MAX,sizeof(dist));    for(i=0;i<n;i++)     //初始化    {      /*    if(matrix[v0][i]<INT_MAX && i!=v0)        {            dist[i]=matrix[v0][i];            path[i]=v0;        }*/       dist[i]=matrix[v0][i];            path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点    }    path[v0]=v0;    dist[v0]=0;    visit[v0]=true;    for(i=1;i<n;i++)     //循环扩展n-1次,因为有一个点为起点，不计算    {        int min=INT_MAX;        int u;        for(j=0;j<n;j++)    //找到当前点到起点的最短距离和最短路径        {            if(visit[j]==false && dist[j]<min)            {                min=dist[j];                u=j;            }        }        visit[u]=true;        for(k=0;k<n;k++)   //更新dist数组的值和路径的值        {            if(visit[k]==false && min+matrix[u][k] < dist[k])            {                dist[k]=min+matrix[u][k];                path[k]=u;            }        }    }}/*void showPath(int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点{    int i=v;    while(path[i]!=v0)    {        cout<<path[i]<<" ";        i=path[i];    }    cout<<path[i]<" ";}*/void showPath(int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点{    stack<int> s;    int u=v;    while(v!=v0)    {        s.push(v);        v=path[v];    }    s.push(v);    while(!s.empty())    {        cout<<s.top()<<" ";        s.pop();    }}int main(){    while(cin>>n>>e && e!=0)    {        int i,j;        int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w        int v0;        memset(matrix,INT_MAX,sizeof(matrix));        for(i=0;i<e;i++)        {            cin>>s>>t>>w;            matrix[s][t]=w;        }        cin>>v0;        //输入源顶点       /* for(int q=0;q<n;q++)        {            for(int q1=0;q1<n;q1++)            cout<<matrix[q][q1]<<" ";            cout<<endl;        }*/        DijkstraPath(v0);        for(i=0;i<n;i++)//输出想要的数据        {            if(i!=v0)            {                showPath(i,v0);                cout<<dist[i]<<endl;            }        }    }    return 0;}