buffon针的概率算法

根据buffon的针的概率算法，只要在地板上大约落下150万根针，每100次中就有95次可以将pi的值估计到0.01内，落下的针的长度是地板上的木板宽度的一半。以n/k作为对pi的估计。其中n 是落下的针数，k 是与木板之间的缝隙相交的针数。请说明可以通过落下两倍长的针来改进这个算法，并且以n/2k作为对pi的估计。如果有至少95%的概率得到pi的估计值误差在0.01内，需要多少根针？

解：

1、每根针有两个要素：针的中点的位置，以及针的偏角，一旦这两个因素确定了，则针的位置也就确定了。

2、设木地板宽度为a，针的长度就是l=a/2，则针的中点到其下方的最近一个缝隙的距离x在(0, a/2]上均匀分布，而角度在(0, π]上均匀分布。

样本空间为

 

针与平行线相交的充要条件是

（见图1)．

 所求概率是

                            

                                                    图1     

     

                                     图2

3、多次抛针，而每次抛针时的条件都是相同的，则每次抛针时与地板缝隙相交的概率都是p，则这就是一个典型的伯努利实验，得到的结果就满足二项分布 ，即设总共抛针n次，出现k次相交的概率为。根据De Moivre-Laplace中心极限定理，可得随机变量服从参数为n,p的二项分布，则对于任意的x有：

，

其中为标准高斯分布的累积函数。

并且将 带入到上式中去，可以得到：

在n/k 作为pi的估计不超过0.01的情况下，可以得到

 

通过查阅标准高斯分布累积函数表可得

当针的长度为木板长度的一半时，，并将其代入上式，可得

可以求得

当针的长度等于木板的长度时，

将 代入，得