约瑟夫环

来源：互联网发布：定金和尾款淘宝客编辑：程序博客网时间：2024/05/20 17:08

约瑟夫环问题：一圈共有N（1～N）个人，开始报数(1,2,3,...,M)，报到M的人自杀，然后重新开始报数，问最后自杀的人是谁？

如图：内环表示人排列的环，外环表示自杀顺序；上面N=41,M=3。

1. 最普通办法就是模拟整个过程：原文地址：http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/39254619

建一个bool数组，true表示此人还活着，false表示已经自杀。可以模拟整个过程

[cpp] view plaincopy
#include<iostream>  
using namespace std;  
int main()  
{  
    int N;//人的总个数  
    int M;//间隔多少个人  
  
    cin>>N;  
    cin>>M;  
  
    bool *p=new bool[N+1];//[1……N]为true表示此人还活着  
    for (int i=1; i <= N; i++)  
        *(p+i)=true;  
      
    int count=0;//统计自杀的人数  
  
    for (int i=1, j=0; ;i++)//i用来表示循环，j用来计算是不是第N个人  
    {  
        if (*(p+i))//此人还活着  
        {  
            j++;  
            if (j == M)  
            {  
                *(p+i)=false;  
                j=0;  
                count++;//统计自杀的人  
            }  
            if (count == N)  
            {  
                cout<<"最后自杀的人是："<<i<<endl;  
                break;  
            }  
        }  
  
        if(i == N)  
            i=0;  
    }  
  
    delete []p;  
      
    return 0;  
}  

模拟整个过程，复杂度为O(NM)。

2. 可以用数学方法来求解：http://hi.baidu.com/anywei/item/294351b5f432f144ba0e12f2

把问题换个方式描述一下：N个人（编号0~(N-1))，从0开始报数，报到(M-1)的自杀，剩下的人继续从0开始报数。求最后自杀者的编号。

首先，为什么要从0开始编号？答：因为递推式里有%（取余）运算，这个运算必然是从0开始；至于结束，如果是对n取余（%n），当然是n-1了。

其次，为什么要从0开始报数？答：要不然呢？还是从1开始报数，也可以，但是不是很混乱么？所以可以认为是为了和编号想对应。

先总结一下约瑟夫环的递推公式：

f[1]=0;　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
f[1]=1;　f[i]=(f[i-1]+m)%i (i>1); if(f[i]==0) f[i]=i;

那么这2个公式有什么不同？

首先可以肯定的是这2个公式都正确。公式1，得到的是以0～n-1标注的最终序号；公式2得到的就是正常的1~n的序号。

公式1的推导：——————————

给出一个序列，从0～n-1编号。其中，k代表出列的序号的下一个，即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那么，出列的序号是(m-1)%n，且k=m%n（这个真的是显而易见！）。出列k-1后，序列变为

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然后，我们继续从n-1后延长这个序列，可以得到

c 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n+0, n+1, …, n+k-2

我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样，得到一个新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了，整个序列c都减除一个k，得到

d 0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么？这个不需要关心，反正c序列是连续的，我们知道了头和尾，就能知道d序列是什么样的。

从序列a到序列d，就是一个n序列到n-1序列的变化，约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。

剩下的，就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中，也就是序列d中，我们知道了最终剩下的一个序号是x，那么如果知道了x转换到序列a中的编号x`（同样都是最后一个自杀的人，n-1个人的x相当于n个人x`——这才是逆推真正的含义），不就是知道了最终的结果了么？

下面我们就开始推导出序列a中x的序号是什么。

d->c，这个变换很容易，就是x+k；

c->b，这个变换是网上大家都一带而过的，也是令我郁闷的一个关键点。从b->c，其实就是0~k-2这段序列转换为n~n+k-2这段序列，那么再翻转回去，简单的就是%n，即(x+k)%n。%n以后，k~n-1这段序列值不会发生变化，而n~n+k-2这段序列则变成了0～k-2；这两段序列合起来，就是序列b。

于是乎，我们就知道了，x`=(x+k)%n。并且，k=m%n，所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出来了：f[i]=(f[i-1]+m)%i。当然，i=1就是特殊情况了，f[1]=0。这里还有一个小问题。也许你会迷惑为什么x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i？其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b——这是在n-1序列转换成n序列时%n；那么从n-2转换到n-1呢？不是要%(n-1)了吗？所以这个值是变量，不是常量。

有了递推公式就可以在O（N）时间求出结果：

#include<iostream>using namespace std;int main(){int N;//人的总个数int M;//间隔多少个人cin>>N;cin>>M;int result=0;//N=1情况for (int i=2; i<=N; i++){result=(result+M)%i;}cout<<"最后自杀的人是："<<result+1<<endl;    //result别忘了要加1return 0;}

感性认识：为什么能用a,b,c,d四个序列逆推？答：a,b,c,d是第1个人出列后变成n-1人序列的演变过程，那么从n-1变成n人序列，当然就要加上这第1个被删除的人（就当什么都没发生过）。

0 0