最大带权子树(hihocoder变种题)

题目来源: http://hihocoder.com/contest/mstest2015jan2/problem/3

本质上这道题是说，给定一个含有N个节点的树，和K个规定节点， 要求找到恰好包含M各节点的子树T， 使得树T在满足包含前面K个规定节点的前提下，使得子树T的权重最大，如果存在则输出权重，不存在这样的子树则输出-1

很容易想到这道题是最大带权子树的变种(本质上是树形DP加01背包)， 但是题目要求除了顶点1，还要求必须包含其他K个顶点(这K个顶点中也可能有1)， 所以题目变得复杂了。。。

稍微思考，可以知道因为一定要求包含顶点1，所以我们在读取输入后，先以1为root重新构建这棵树(代码中build函数就是干这个的)。 然后对于规定的K个顶点，因为他们到顶点1的路径存在且唯一，所以我们找到这些路径，可以知道这些路径恰好构成以1为根的一颗子树S。如果S的顶点数大于M，则说明所求的T一定不存在，则直接返回-1；否则在S的基础上，还可以再选取M - |S| 个节点，构成一个权重更大的子树。

关键是如何选取这个剩下的几个节点，注意到不论最后我们生成的最终子树T是什么样的， 由于树路径的唯一性可知， T如果满足题目要求， 则S一定是T的子树，既然无论如何都包含S，那么我们把S求出来后看做一个新的节点(如顶点0)， 其余不在S中的树的分枝都以这个新顶点为根(这个根权重为S的总权重)。然后对于这颗新的树我们只需要用最大带权子树的方法求出以顶点0为根的且恰好包含M- |S| + 1个节点的最大子树即可，这就是所求的答案。

#include<iostream>#include<vector>using namespace std;#define ll long long intinline int Max(int a, int b){return (a<b?b:a);}const int max_n = 102;int pa[max_n]; //节点父亲ll val[max_n]; //节点的值bool is_s[max_n]; //是否已经遍历vector<int> son[max_n];  //节点的儿子们 const int MAX_K = 5;int must_node[MAX_K]; //必须经过的节点int N, K, M;vector<int>::iterator iter;//重新构建以a为根的子树void buildtree(int v, int fa){ pa[v] = fa;for(vector<int>::iterator iter = son[v].begin(); iter!= son[v].end();){if(*iter == fa)        iter = son[v].erase(iter);    else{buildtree(*iter, v);                ++iter;    }}}//下面的数组和dfs是用来求最大带权子树，用的方法是记忆化搜索(伪DP)//dp[a][left] 表示以点a为根，且恰好有left个节点(包含点a自己)的最大子树的权值ll dp[max_n][max_n];void dfs(const int v, const int M){for(int i = 0 ; i < son[v].size(); i++){dfs(son[v][i], M);for(int totalM = M; totalM >= 2; totalM--){for(int childM = 1; childM < totalM; childM++)dp[v][totalM] = Max(dp[v][totalM], dp[v][totalM-childM] + dp[son[v][i]][childM]);}}}int main(){//读入输入cin >> N >>  K >> M;for(int i = 1 ; i <= N; i ++){cin >> val[i];is_s[i] = false;}for(int i = 0 ; i < K; i++)cin >> must_node[i];//读入树的边，由于题目中并没有说边的输入格式，我们只好先默认以无向边的形式读入，然后再重建这个有向树for(int i = 0 ; i < N-1; i++){int a, b;cin >> a >> b;son[a].push_back(b);son[b].push_back(a);}//重新构建这颗树，使其有父亲儿子之分并且让1恰好为它的根buildtree(1, -1);//将那棵子树S找到，凡是在S中的点，它们的is_s都是truell sum = 0;   //S中的点的权重之和is_s[1]  = true;int has_s = 1; //已经遍历过的点的数目sum += val[1];for(int i = 0 ; i < K; i++){int now = must_node[i];while(!is_s[now]){is_s[now] = true;has_s ++;sum += val[now];now = pa[now];}}//如果子树S太大，则输出-1if(has_s > M){cout << -1 << endl;return 0;}//重构这颗树，即将顶点0看做S缩成的一个点， 权重为S中点的权重之和M = M-has_s+1;val[0] = sum;pa[0] = -1;for(int i = 1; i <= N; i++) {if(is_s[i]){for(int j = 0; j < son[i].size() ; j++){if(!is_s[son[i][j]]){son[0].push_back(son[i][j]);pa[son[i][j]] = 0;}}}}//最后找到这个新树中以0为根的最大子树(恰好有M- has_s + 1)个点for(int i = 0 ; i <= N; i++){for(int j = 1 ; j <= M; j++)dp[i][j] = val[i];}dfs(0, M);cout << dp[0][M] << endl;return 0;}