第一部分 数理逻辑 第五章 一阶逻辑等值演算与推理

1 - 要点
等值式：设A，B是一阶逻辑公式，若A↔B为永真式，则称A与B等值，记为A⇔B
基本等值式：
第一组：命题逻辑中基本等值式的代换实例
第二组：一阶逻辑中的重要公式
（1）在有限个体域中的重要等值式
设个体域D={a₁，a₂，…，a_n}，则：∀xA(x)⇔A(a₁)∧A(a₂)∧…∧A(a_n)，∃xA(x)⇔A(a₁)∨A(a₂)∨…∨A(a_n)，
（2）量词否定等值式
¬∀xA(x)⇔∃x¬A(x)，¬∃xA(x)⇔∀x¬A(x)
（3）量词辖域收缩与扩张等值式：下面公式中，A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的自由出现，则
∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B
∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B
∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B
∀x(B→A(x))⇔B→∀xA(x)
∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B
∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B
∃x(A(x)→B)⇔∀xA(x)→B
∃x(B→A(x))⇔B→∃xA(x)
（4）量词分配等值式
∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)
∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)
三个主要规则：
（1）置换规则
（2）换名规则
（3）代替规则
前束范式
公式A的前束范式
求给定公式的前束范式：利用重要的等值式、置换规则、换名规则、代替规则等，对给定公式进行等值演算即可求出给定公式的前束范式
推理的形式结构
（1）形式结构1：A₁∧A₂∧…∧A_k→B（*）
其中A₁，A₂，…，A_k，B，均为一阶逻辑公式。如果（*）是永真式，则称推理正确，否则称推理不正确
（2）形式结构2：
前提：A₁，A₂，…，A_k
结论：B
一阶逻辑中重要的推理定理
第一组：命题逻辑推理定理的代换实例
第二组：一阶逻辑中每个基本等值式均生成两条推理定理
第三组：一些常用的重要推理定律
（1）∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))
（2）∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)
（3）∀x(A(x)→B(x))⇒∀xA(x)→∀xB(x)
（4）∃x(A(x)→B(x))⇒∃xA(x)→∃xB(x)
自然推理系统N
1. 字母表
2. 合式公式
3. 推理规则
（1）前提引入规则
（2）结论引入规则
（3）置换规则
（4）假言推理规则
（5）附加规则
（6）化简规则
（7）拒取式规则
（8）假言三段论规则
（9）析取三段论规则
（10）构造性二难规则
（11）合取引入规则
（12）∀-规则：全称量词消去规则
（13）∀+规则：全称量词引入规则
（14）∃+规则：存在 量词引入规则
（15）∃-规则：存在量词消去规则
推理的证明：给定前提A₁，A₂，…，A_k，结论B，设公式序列C₁，C₂，…，C_l。如果每一个i（i=1，2，…，l），C_i是某个A_j，或者可由序列中前面的公式应用推理规则得到，并且C_l=B，则称公式序列C₁，C₂，…，C_l是由A₁，A₂，…，A_k推B的证明