回溯算法

·掌握用回溯法解题的算法框架

·（1）递归回溯最优子结构性质

·（2）迭代回溯贪心选择性质

·（3）子集树算法框架

·（4）排列树算法框架

•回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。

回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索

•问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。

•显约束：对分量xi的取值限定。

•隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。

•解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。

•扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点

•活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点

•死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点

•

•解释： 不能继续生成儿子的结点是死结点。

•           不是死结点的结点就是活结点(不含扩展结点）。

•            扩展结点只有一个。

v深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）

v宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点

v回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法

回溯法的基本思想：

(1)针对所给问题，定义问题的解空间；

(2)确定易于搜索的解空间结构；

(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

常用剪枝函数：

用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；

用限界函数剪去得不到最优解的子树。

void backtrack(int t)

{

       if (t>n)output(x);

       else

         for (inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++) {

           x[t]=h(i);

           if (constraint(t)&&bound(t))backtrack(t+1);

           }

}

N皇后问题：

boolQueen::Place(int k)

{

  for (intj=1;j<k;j++)

    if((abs(k-j)==abs(x[j]-x[k]))||(x[j]==x[k])) return false;

  return true;

}

void Queen::Backtrack(int t)

{

  if (t>n) sum++;

    else

      for (inti=1;i<=n;i++) {

        x[t]=i;

        if (Place(t)) Backtrack(t+1);

      }

 }