二分图最大匹配 pascal

二分图最大匹配。

去年这时候学过，学得很模糊，今年重温。

 

先给出一些定义：

二分图：       设G是一个图。如果存在VG的一个划分X，Y，使得G的任何一条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二分图，记作G＝(X，Y，E)。

 

二分图匹配：   给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

 

二分图最大匹配：在图G的所有二分图匹配中包含边数最多的一个匹配就是二分图最大匹配。

 

增广路：      若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

 

 

找二分图的最大匹配，最朴素的算法自然是dfs枚举。这当然会超时的。

所以就要用高级的算法，于是有了匈牙利算法。

个人觉得本质上还是枚举。只是因为引入了“增广路”的概念，所以枚举快了很多。

 

算法轮廓：

(1)置匹配M为空

(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

 

上述第二步是关键。为了达到“通过取反操作获得更大的匹配M’代替M”，只能通过枚举边来扩充增广路。用边来扩充增广路，自然有3种情况。

1）边的两个端点在这条增广路上。那么这条边肯定无法扩充增广路。

2）边的没有端点在这条增广路上。那么直接把这条边加到增广路中，增广路长度＋2。

3）边的一个端点在这条增广路上。这个就比较麻烦了，可能整个增广路都要发生改变要通过递归来求解。

 

在程序实践时，又有了不同。程序中并没有很明显的“增广路”，更没有取反。

var
 n:longint;
 s:longint;
 map:array[1..1000+1,1..1000+1]ofboolean;//记录读入的边
 mark:array[1..1000+1]ofboolean;//标记在一个点是否在增广路中
 link:array[1..1000+1]oflongint;//不是记录增广路，而是记录匹配边

 

procedure init;
var
 i,x,y,e:longint;
begin
 fillchar(map,sizeof(map),0);
 read(n,e);
 for i:=1 to e do
  begin
   read(x,y);
  map[x,y]:=true;//邻接表储存
  end;
end;

 

function find(x:longint):boolean;
var
 i,q:longint;
begin
 for i:=1 to n do
  if map[x,i] and not mark[i]then//枚举边。同时排除第一种情况。
   begin
   q:=link[i]; link[i]:=x;mark[i]:=true;//改变增广路
  if (q=0) or find(q) thenexit(true);//若是第2种情况，那么第一次递归时q＝0。若是第3种情况，则增广路发生改变，为了判断这种改变是有用的还是没用的，就要find(q)。因为只有增广路两端的点的link才＝0，所以只要找到q=0，就表示把枚举的边加入增广路成功。
   link[i]:=q;
   end;
 exit(false);//表示找不到合适的边，该增广路不合理。
end;

 

procedure main;
var
 i:longint;
begin
 s:=0;
 for i:=1 to ndo//这里枚举的是点，但进入find函数后，枚举的还是以i点为端点的边。就是要把i点加入增广路中
  begin
  fillchar(mark,sizeof(mark),false);
  if find(i) theninc(s);//s是最大匹配数，这里的意思是：从i出发的一条边在增广路中，所以s自然要＋1
  end;
 writeln(s);
end;

begin
 init;
 main;
end.

 

上面只是我的一些个人简介，不一定对。

 

对于匈牙利算法，考得时候难点主要在建图，算法本身还是背下来比较好。

因为本来代码也不是很长，如果考试时现推得不偿失。