最短路径（二）—Dijkstra算法（通过边实现松弛：邻接矩阵）

上一节通过Floyd-Warshall算法写了多源节点最短路径问题：

http://blog.csdn.net/wtyvhreal/article/details/43315705

这一节来学习指定一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径。也叫做“单源最短路径”Dijkstra。

例如求下图中1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。

用二维数组e存储顶点之间边的关系，初始值如下：

用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，

此时dis数组中的值称为最短路程的“估计值”。

先找一个离1号顶点最近的顶点，是2号顶点，当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经 从“估计值”变为了“确定值”。接下来看2号顶点的出边，有2-3和2-4两条边。先讨论通过2-3能否让1-3号的路程变短，也就是比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。2-4同理。

我们对2号顶点所有出边进行了松弛，完毕后dis数组为：

接下来，继续在剩下的3、4、5、6顶点中，选注离1号最近的顶点，是4号，4号的所有出边4-3、4-5、4-6松弛：

。。。

Dijkstra的主要思想：每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。

步骤：

输入数据：

运行结果：

这个时间复杂度是O(N^2)。

其中每次找到离1号顶点最近的顶点的时间复杂度是O(N)，这里可以用“堆”来优化使降低到O(logN)，

另外对于边数M少于N^2的稀疏图来说（M<<N^2的图称为稀疏图，而M较大的图称为稠密图），我们可以用邻接表来代替邻接矩阵存储，使得整个时间复杂度优化到O(M+N)logN。

在最坏的情况下M就是N^2,这样的话(M+N)logN要比N^2还要大，但是大多数情况下并不会有那么多边，因此(M+N)logN要比N^2小很多。

DijkStra基于贪心策略的算法。

对于不含负权边的图求单源最短路径，Dijkstra算法是最高效的。但是在含负权边的图中，Dijkstra很可能得不到正确的结果，因为Dijkstra每次选的是当前能连到的边中权值最小的，在正权图中这种贪心是对的，但是在负权图中就不是这样了。比如1——>2权值为5，1——>3权值为6，3——>2权值为-2，求1到2的最短路径时，Dijkstra就会选择权为5的1——>2，但实际上1——>3——>2才是最优的结果。

 

另外如果包含负环，则意味着最短路径不存在。因为只要在负权回路上不断兜圈子，所得的最短路长度可以任意小。

原因：

Dijkstra算法当中将节点分为已求得最短路径的集合（记为P）和未确定最短路径的集合（记为Q），归入P集合的节点的最短路径及其长度不再变更，如果边上的权值允许为负值，那么有可能出现当与P内某点（记为a）以负边相连的点（记为b）确定其最短路径时，它的最短路径长度加上这条负边的权值结果小于a原先确定的最短路径长度，而此时a在Dijkstra算法下是无法更新的，由此便可能得不到正确的结果。