原根小结 (poj 1284)

关于原根的一些知识点：

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）

定义1：设，，使得成立的最小的，称为对模的阶，记为。

定理1：如果模有原根，那么它一共有个原根。

定理2：若，，，则。

定理3：如果为素数，那么素数一定存在原根，并且模的原根的个数为。

定理4：设是正整数，是整数，若模的阶等于，则称为模的一个原根。

   假设一个数对于模来说是原根，那么的结果两两不同,且有，那么可以称为是模的一个原根，归根到底就是当且仅当指数为的时候成立。（这里是素数）

定理5：模有原根的充要条件：，其中是奇素数。

 

求模素数原根的方法：对素因子分解，即是的标准分解式，若恒有

          

成立，则就是的原根。（对于合数求原根，只需把换成即可）

以上内容转自http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8883285

我的补充：

1.如果g为p的原根，则：g^i mod p ≠ g^j mod p (p为素数), 其中i ≠ j且i, j介於1至(p-1)之间

求原根的代码：

题目：

poj 1284
题意：
给出一个数n,求原根数目。
限制：
3 <= n < 65536; n为奇素数。
思路：
因为n是素数，所以模n的原根数=phi(phi(n))=phi(n-1)。
phi(i) 可以预处理出来。