回溯——（装载/0-1背包）

搜索篇之回溯

（1）
0-1背包/装载

o-1背包

背包问题 ：

已知一个容量大小为M重量的背包和N种物品，每种物品的重量为Wi。若将物品放入背包将得到Pi的效益，求怎样选取物品将得到效益最大

   输入：第一行一个整数，为背包的容量M；第二行一个整数，为物品的种数Ｎ；第三行Ｎ个整数为各物品的重量；第四行Ｎ个整数分别为Ｎ个物品的价值

   输出：第一行为最大总价值；第二行为装入的各物品的重量（未装的物品用０）；第三行为装入的各物品的价值（未装的物品用０）

输入样例：
 50
 3
 10 20 30
 60 100 120
输出样例：
 220
 0 20 30
 0 100 120

解题思路：

对于每种可能的情况，进行判断，看是否是最优解；即对于每件物品，可以选择放（背包容量限制内），或是不放（不放的情况分别是当前背包放不下了，和如果这个不放，后面的可能使得value更大。）。然后对下一个物品进行判断，

解空间：

bag:array[1..maxn]of 0..1;

其中，bag[k]=1表示第k个物品要取

           0表示第k个物品不取

（ K 表示第K个物品；N表示物品的个数）

约束条件：

背包足以放下当前物品；

状态树：

Best:=0;   表示最大价值
当一组解产生后，得到当前总价值count，
if count>best then best:=count
利用这种方法记录最优解！如果还要记录最优时的物品取法应：
if count>best then begin
    best:=count;
    for i:=1 to n do y[i]:=bag[i];

结束条件：

所有的可用的解法都已经搜索完毕，即K>=N时；

求最优解步骤：

对于每一种可能的解法，都与当前最优解比较，进行更新。

即：在K>=N的时候将当前的值与最优解比较，即current_value与best比较。进行更新；

注意：

回溯过程中注意状态的回复。

当然，如果仅仅是这样的话，很容易实现，但是耗时很大。原因是进行了很多不必要的搜索，那么心在就是要来剪枝了。

上界函数：当前值+剩余的物品的值<=当前最优解best

当前值指的是第k 层之前的值，剩余物品的值指的是不包括当前物品，剩余的值

if(curp+r>best){<span style="white-space:pre"></span>plag[k]=0;fun(k+1);}

       即 当这个物品不放置的时候，即使后面的都能放进去，得到的值也小于最优值的时候，以此节点后的子树就军事不可行解。可以不予判断（即舍弃这个子树）。

源代码：

# include<stdio.h># include<string.h># include<stdlib.h># define M 1000int w[M+100],p[M+100];char plag[M+100],bag[+200]; //标记数组 int r,best,curw,curp;//剩余值，最优值，当前重量，当前值 int n,m;int fun(int k){int i;if(k>=n){if(curp>best)//更新操作 {for(i=0;i<n;i++) bag[i]=plag[i];best=curp;}}else{r-=p[k];if(curw+w[k]<=m)//当前物品是否可放 {curw+=w[k];curp+=p[k];plag[k]=1;fun(k+1);curp-=p[k];//状态恢复 curw-=w[k];}if(curp+r>best)// 剪状态树枝 {plag[k]=0;fun(k+1);}r+=p[k];}return 0; }int main(){int i;while(~scanf("%d",&m)){scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&w[i]); for(i=0;i<n;i++) {scanf("%d",&p[i]);r+=p[i];}fun(0);printf("%d\n",best);for(i=0;i<n;i++) printf("%d ",bag[i]*w[i]); puts("");for(i=0;i<n;i++) printf("%d ",bag[i]*p[i]); puts("");}return 0;}

装载问题，与此类似。

装载问题

•解空间：子集树

•可行性约束函数(选择当前元素)：

•上界函数(不选择当前元素)：

当前载重量cw+剩余集装箱的重量r£当前最优载重量bestw

voidbacktrack(inti)

   {// 搜索第i层结点

      if (i > n) //到达叶结点

      更新最优解bestx,bestw;return;

      r -= w[i];

      if(cw + w[i] <= c) {//搜索左子树

         x[i] = 1;

         cw += w[i];

         backtrack(i+ 1);

         cw -= w[i];     }

      if(cw + r >bestw) {

         x[i] = 0; //搜索右子树

         backtrack(i+ 1);      }

      r += w[i];

   }

源代码：

# include<stdio.h># include<string.h># include<stdlib.h>#define M 1000int w[M+100];int n,bestw,curw,r;int c1,c2;char plag[M+100],bag[M+100];//位置标记， int fun(int k){int i;if(k>=n){if(curw>bestw){for(i=0;i<n;i++){bag[i]=plag[i];}bestw=curw;}}else{r-=w[k];if(curw+w[k]<=c1){curw+=w[k],plag[k]=1;fun(k+1);curw-=w[k];//状态恢复 }if(curw+r>bestw)//上界函数（剪枝函数）  {plag[k]=0;fun(k+1);}r+=w[k];//状态恢复 }return 0;}int main(){int i;while(~scanf("%d%d",&c1,&c2)){memset(plag,0,sizeof(plag));scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++){scanf("%d",&w[i]);r+=w[i];}fun(0);printf("%d\n c1 -- ",bestw);for(i=0;i<n;i++){printf("%d  ",bag[i]);}puts("");}return 0;}

编辑于2015/2/13- 01：38