归并排序算法

1.       算法概述:

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。

2.       过程分析:

其操作的步骤如下：

Divide：把n个元素的序列分为两个元素个数为n/2的子序列。

Conquer：递归的调用归并排序算法对两个子序列进行排序

Combine：对排好序的子序列进行合并，得到最后排序的结果。

归并过程为：比较a[i]和a[j]的大小，若a[i]≤a[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；否则将第二个有序表中的元素a[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。

3.       实现方法:

归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[s,t]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序，最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。

4.       举例:

如设有数列{6，202，100，301，38，8，1}

初始状态：6,202,100,301,38,8，1

第一次归并后：{6,202},{100,301},{8,38},{1}，比较次数：3；

第二次归并后：{6,100,202,301}，{1,8,38}，比较次数：4；

第三次归并后：{1,6,8,38,100,202,301},比较次数：4；

总的比较次数为：3+4+4=11,；

5.       工作原理:

第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列

第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置

重复步骤3直到某一指针超出序列尾

将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

6.       比较:

归并排序是稳定的排序.即相等的元素的顺序不会改变.如输入记录 1(1) 3(2) 2(3) 2(4) 5(5) (括号中是记录的关键字)时输出的 1(1) 2(3) 2(4) 3(2) 5(5) 中的2 和 2 是按输入的顺序.这对要排序数据包含多个信息而要按其中的某一个信息排序,要求其它信息尽量按输入的顺序排列时很重要.这也是它比快速排序优势的地方

7.       图形说明:

两个子序列的合并（MERGE）过程如下列示意图所示：

8.       示例程序

#include<iostream>

using namespacestd;

 

voidmerge_sort(int *a,int x,int y,int *t);

/*
a是原来未排序的数组，t是临时存储排好序数字的数组，t的大小不能小于a。排序的范围是：[x,y).左闭右开。

*/

 

int main()

{

    int a[]= {3,6,12,8,4,90,1,-4,2};

    int t[9];

    merge_sort(a,0,9,t);

    for(int i=0; i<9; i++)

    {

        cout<<a[i]<<" ";

    }

    cout<<endl;

    return 0;

}

 

voidmerge_sort(int *a,int x,int y,int *t)

{

    if(y-x>1)//当[x,y)中只有一个元素的时候，才停止向下继续递归分组

    {

        int m=x+(y-x)/2;//分组的分界点：中点（靠近起点的一侧）

        int p=x,q=m,i=x;

        merge_sort(a,x,m,t);//左半部分递归分组

        merge_sort(a,m,y,t);//右半部分递归分组

//注意||运算符短路的特性

        while(p<m||q<y)//只要有至少一个序列非空，就要继续合并

        {

           if(q>=y||(p<m&&a[p]<=a[q]))

/*

q>=y：是左边非空右边空；

p<m&&a[p]<=a[q]：左右均不空且左边的最小值小于等于右边的最小值（保证了排序的稳定性）

两种情况均要复制左边的最小值

*/

            {

                t[i++]=a[p++];

            }

            else//否则：复制右边的最小值

            {

                t[i++]=a[q++];

            }

        }

        for(i=x;i<y;i++)

        {

            a[i]=t[i];//将排好序的部分覆盖掉原数组对应的部分

        }

    }

}

输出:

-4 1 2 3 4 6 8 1290

9.       应用：逆序对问题

1)       问题描述：给出一列数，求它们的逆序对数。即有多少个有序对(i,j)满足i<j，但是ai>aj。N可以高达10^6次方

2)       分析：

直接枚举O(n^2)会超时。使用“分治三步法”：

划分问题：将数列尽量分成元素数量相等的两半；

递归求解：统计i和j均在右边或者均在左边的逆序对个数；

合并问题：统计i在左边，j在右边的逆序对数。

如何求出i在左边，j在右边的逆序对数呢？按照j 的不同把这些跨越两边的逆序对进行分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j),则所有的f(j)的和就是答案。

归并排序可以顺便完成f(j)的计算：由于合并操作是从小到大进行的，当右边的A[j]被复制到临时数组中时，左边还没来得及复制到临时数组中的那些数字就是左边所有比A[j]大的个数。因此在累加器上加上左边元素的个数M-P即可。

3)       代码：

#include<iostream>

using namespacestd;

 

int cnt=0;

 

void merge_sort(int*a,int x,int y,int *b);

 

int main()

{

    int a[]={9,-8,7,6,-5,4,3,-2,1};

    int b[9];

    merge_sort(a,0,9,b);

    cout<<cnt<<endl;

}

 

voidmerge_sort(int *a,int x,int y,int *b)

{

    if(y-x>1)

    {

        int m=x+(y-x)/2;

        int p=x,q=m,i=x;

        merge_sort(a,x,m,b);

        merge_sort(a,m,y,b);

        while(p<m||q<y)

        {

           if(q>=y||(p<m&&a[p]<=a[q]))

            {

                b[i++]=a[p++];

            }

            else

            {

                b[i++]=a[q++];

                cnt=cnt+m-p;

            }

        }

        for(i=x;i<y;i++)

        {

            a[i]=b[i];

        }

    }

}

输出：

24