约瑟夫环问题

问题描述：有n个人坐成一圈，编号为1到n，从编号为1的人开始传递热马铃薯。m次传递之后，持有热马铃薯的人退出游戏，圈缩小，然后游戏从退出人下面的人开始，继续进行。最终留下来的人获胜。这样，如果m=0，n=5，那么参加游戏的人依次推出，5号获胜。如果m=1，n=5，那么退出的顺序是2、4、1、5。

方法1：使用循环链表的数据结构来解决。

代码如下：

                                           CircularList.h

//---------【利用循环链表解决约瑟夫环问题】------------#ifndef __CIRCULARLIST__#define __CIRCULARLIST__#include <iostream>// 循环链表的实现class CircularList{private:struct ListNode{int val;ListNode *next;ListNode(int ival) : val(ival), next(NULL) {}};public:CircularList(int n){first = new ListNode(1);ListNode *prev = first;ListNode *curr = NULL;for(int i = 1; i < n; ++i){curr = new ListNode(i+1);prev->next = curr;prev = curr;}curr->next = first;}~CircularList(){ListNode *curr = first->next;ListNode *prev = NULL;while(curr != first){prev = curr;curr = curr->next;delete prev;}delete first;first = NULL;}void printList() const{std::cout << first->val;ListNode *curr = first->next;while(curr != first){std::cout << " " << curr->val;curr = curr->next;}std::cout << std::endl;}// 时间复杂度：O(mn)    void erase(int m){        ListNode *prev = first->next;while(prev->next != first){prev = prev->next;}        ListNode *curr = first;while(curr->next != curr){for(int i = 0; i < m; ++i){prev = curr;curr = curr->next;}std::cout << "The person out: " << curr->val << "\n";prev->next = curr->next;delete curr;curr = prev->next;first = curr;printList();}first = curr;std::cout << "The winner is " << curr->val;}private:ListNode *first;};#endif

                                                main.cpp

//-----------------【约瑟夫环问题】--------------------#include "CircleList.h"using namespace std;int main(int argc, char const *argv[]){// 利用循环链表:O(mn)CircleList l(5);l.printList();l.erase(1);return 0;}

方法2：使用数学推导。

原问题可以解释为编号为1到n的人，从编号为1的人开始喊数字0，下一个喊数字1，依次类推，直到有人喊数字m，则这个人退出游戏。下一个人又从0开始喊，直到只剩一个人。

原序列1：1，.......，k-2，k-1，k，......，n（其中序号k-1出列）。

由推导可得，出列的序号为(m+1)%n（因为m可能比n大），所以有k-1=(m+1)%n，即k=(m+2)%n。

出列后得到序列2：1，.......，k-2，k，......，n。

将前面的k-2个元素放到序号n的后面，则得到序列3：k，......，n，1，.......，k-2。

将序号1及后面的序号全部加上n，则得到序列4：k，......，n，n+1，......，n+k-2。

再将全部序号减去k-1，得到序列5：1，......，n-1。

由于最后的胜利者在序列1中，也肯定在序列5中，设其在序列5中的序号为x，在序列1中的序号为x’，现在问题变为推导x和x'的关系。

从序列5到序列4，全部加上k-1即可，即x'=x+k-1。

其中比较难的的推导是从序列4到序列3，也就是将序列n+1，......，n+k-2这一部分变为1，......，k-2，其实就是对n取余数，即x'=(x+k-1)%n。由于k=(m+2)%n，故x'=(x+m+1)%n。需要注意的是此时n会变为0，需要将其修改回来。

从序列3到序列2和序列1，序号没有改变。

所以我们可以总结如下：

设i为剩余参加比赛的人数，f[i]为最终胜利者的序号，有

f[1]=1；f[i]=(f[i-1]+m+1)%i（i>1）；如果f[i]==0，f[i]=i。

代码如下：

#include <stdio.h>int main(int argc, char const *argv[]){    // 数学方法：O(n)int m = 1;int n = 5;int winner = 1; for(int i = 2; i <= n; ++i){winner = (winner + m + 1) % i;if(winner == 0)winner = i;}printf("%d\n", winner);return 0;}

这种类型的问题还有其它的类似递推公式：

f[1]=0；f[i]=(f[i-1]+m)%i（i>1）：人的序号为0到n-1，数字从1开始喊到m的情况。

f[1]=1；f[i]=(f[i-1]+m)%i（i>1）；如果f[i]==0，f[i]=i：人的序号为1到n，数字从1开始喊到m的情况。

将上面第一种情况的结果加上1也可得到第二种情况的结果，或者写成f[1]=1；f[i]=(f[i-1]+m-1)%i + 1（i>1）。