蓝桥杯:波动数列

问题描述

　　观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

Thinking:

设:有数组a[n],首项为a[0]

依题意有:a[0]+a[1]+....a[n]=s;

易知,a[0]的下限为:

a[0]+(a[0]+a)+(a[0]+2*a)+....+(a[0]+(n-1)*a)=s 

<==> n*a[0]+(n*(n-1)/2)*a=s;

<==> a[0]=(s-(n*(n-1)/2)*a)/n; 此时得到a[0]的下限.

a[0]的最大值为  

a[0]+(a[0]-b)+(a[0]-2*b)+....+(a[0]+(n-1)*b)=s  

<==>n*a[0]-(n*(n-1)/2)*b=s;

<==>a[0]=(s+(n*(n-1)/2)*b)/n; 此时得到a[0]的上限.

综上得到首项a[0]的范围:

(s-(n*(n-1)/2)*a)/n <= a[0] <= (s+(n*(n-1)/2)*b)/n 

设items=n*(n-1)/2,x为a的个数,y为b的个数,items是a的个数加上b的个数的和,则有:

x+y==items

这样写完之后发现结果不通过,思考之后发现,很有可能是x个a,和y个b的排列顺序不一致,导致得到的结果少了,

所以之后加了一个判断函数more();

再去提交,结果对了,有部分超时,80%的数据出错,我就想,是不是int overRange了,所以把所有的int换成了longlong(其实没必要把所有的都换),之后所有数据都通过了,但是超时.如果把dfs()部分,换成dp,应该快很多,先这样.

#include<iostream>#define module 100000007using namespace std;long long  tempCount;void dfs(long long  step,long long  a,long long  b,long long  temp,long long  sum,long long  s,long long  n){if(step>=n)return;else if(step==n-1){if(sum==s)tempCount++;return;}temp+=a;dfs(step+1,a,b,temp,sum+temp,s,n);temp-=a;temp-=b;dfs(step+1,a,b,temp,sum+temp,s,n);temp+=b;}long long  more(long long  a1,long long  a,long long  b,long long  x,long long  y,long long  n,long long  s){tempCount=0;dfs(0,a,b,a1,a1,s,n);return tempCount;}int  main(){long long  n,s,a,b,a1,i,k,lowLimit,highLimit,items,counter=0;cin>>n>>s>>a>>b;items=n*(n-1)/2;lowLimit=(s-items*a)/n;highLimit=(s+items*b)/n;for(a1=lowLimit;a1<=highLimit;a1++)for(i=0;i<=items;i++)if(n*a1+i*a-(items-i)*b==s){counter+=more(a1,a,b,i,items-i,n,s);if(counter>module)counter%=module;}cout<<counter<<endl;return 0;}