波动数列 解题报告

问题描述

　　观察这个数列：
1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

思路：这道题需要稍微数学处理一下，由该数列两相邻数之差，构造新的序列，记为{d1,d2,~~~,dn-1}

            而原序列{a1,a2,~~~,an},可知a2=a1+d1,a3=a1+d1+d2,~~~,an=a1+d1+~~~+dn-1

            即总和s=a1+~~~+an=n*a1+(n-1)*d1+(n-2)*d2+~~~+1*dn-1 (*)

            再让新的序列顺序倒过来得{f1,f2,~~~,fn-1} (即f1=dn-1,f2=dn-2,~~~,fn-1=d1)

             此时代入(*)式，取模，即s%n=0+(1*f1+2*f2+~~~+(n-1)*fn-1)%n(**)

             而序列{f1,f2,~~~,fn-1}中每个元素取值为a或-b

             这样问题就转换为求满足(**)式的序列{f1,f2,~~~,fn-1}的个数，可以进行递推了

代码如下：

  

import java.util.Scanner;public class Main {static int n, s, a, b;static long f[][];static long modnum = 100000007;private static long calc() {if (n == 1)return 1;f[0][0] = 1;int num1, num2;for (int j = 1; j <= n - 1; j++)for (int i = 0; i <= (n - 1); i++) {num1 = (i - (a * j) % n + n) % n;num2 = (i - (b * j) % n + n) % n;f[i][j] = (f[num1][j - 1] + f[num2][j - 1]) % modnum;}return f[s][n - 1];}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner reader = new Scanner(System.in);n = reader.nextInt();s = reader.nextInt();a = reader.nextInt();b = reader.nextInt();a = a % n;b = ((-b) % n + n) % n;s = (s % n + n) % n;f = new long[n + 1][n + 1];System.out.println(calc());}}