单源最短路径

最优子结构——最短路径的子路径也是最短路径，动态规划和贪心算法的一个重要指标。

环路

    一条最短路径不可能包含环路

    1）    环路权重为负，如果有一条环路权重为负，则不存在最短路径

    2）    环路权重为零，如果包含该环路，则将该环路去掉即可

    3）    环路权重为正，去掉改环路可以得到更短的路径，因此不可能是最短路径

最短路径的表示

    对于每个结点v，维持一个前驱结点v.p，可能是另外一个结点或者NIL

松弛操作

    对每个结点，维持一个属性v.d，记录从源结点s到结点v的最短路径权重的上界；称v.d为s到v的最短路径估计。

INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)        //最短路径估计及前驱结点初始化

    for each vertex v 属于 G.V

        v.d = INF

        v.p = NIL

    s.d = 0

    松弛过程【针对一条边(u, v)】：先测试是否可以对s到v的最短路径进行改善，测试的方法为，将从结点s到结点u的最短路径距离加上u与v之间的边权重，并与当前的s到v的最短路径估计进行比较；如果前者更小，则进行v.d和v.p的更新

RELAX(u, v, w)

    if v.d > u.d + w(u, v)

        v.d = u.d + w(u, v)

        v.p = u

Bellman-Ford算法

    一般情况下的单源最短路径问题，边的权重可以为负值

    返回一个布尔值，以表明是否存在一个从源结点可以到达的权重为负值的环路

BELLMAN-FORD(G, w, s)

    INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)                    //对各个结点的p和d进行初始化

    for i = 1 to |G.V| - 1                                          //每一个点，对每一条边都需要进行松弛操作

        for each edge(u, v) 属于 G.E

            RELAX(u, v, w)

    for each edge(u, v) 属于 G.E

        if v.d > u.d + w(u, v)                                    //如果不存在权重为负值的环路，则二者是相等的

            return FALSE

    return TRUE

有向无环图中的单源最短路径问题

    根据结点的拓扑顺序次序来对带权重的有向无环图G = (V, E)进行边的松弛操作，可以在O(V + E)时间内计算出从单源最短路径问题

DAG-SHORTEST-PATHS(G, w, s)

    topologically sort the vertices of G               //先对点进行拓扑排序，O(V + E)

    INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)

    for each vertex u, taken in topologically sorted order        //按拓扑排序对结点进行一遍处理

        for each vertex v 属于 G.Adj[u]

            RELAX(u, v, w)

Dijkstra算法

    要求所有变的权重都为非负值

    维持了一组结点集合S，源结点s到这组结点的最短路径已经求出；算法重复从V-S中选择最短路径估计最小的结点u，将u加入到集合S中，然后对所有从u发出的边进行松弛

    使用一个最小优先队列Q保存结点集合S，每个结点的关键字为其d值

DIJKSTRA(G, w, s)

    INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)

    S = 空集

    Q = G.V

    while Q 不等于 空集

        u = EXTRACT-MIN(Q)                        //第一个被提取的点即源结点

        S = S 并上 {u}

        for each vertex v 属于 G.Adj[u]

            RELAX(u, v, w)