单源最短路径

    在最短路径问题中，给定一个带权重的有向图G=(V,E)和权重函数w：E→R，该权重函数将每条边映射到实数值的权重上。图中一条路径p=[v0,v1,•••,vk]的权重w(p)是构成该路径的所有边的权重之和。定义从结点u到结点v的最短路径权重δ=(u,v)，从结点u到结点v的最短路径则定义为任何一条权重w(p)= δ=(u,v)的从u到v的路径p。
    最短路径存在几个变体：

• 单目的地最短路径问题：找到从每个结点v到给定目的地结点t的最短路径。如果将图的每一条边的方向反过来，就可以将整个问题转换为单源最短路径问题。
• 单结点对最短路径问题：找到从给定结点u到给定结点v的最短路径。
• 所有结点对最短路径问题：对于每个结点u和v，找到从结点u到结点v的最短路径。

一些概念和性质

    最短路径算法通常依赖最短路径的一个重要性质：两个结点之间的一条最短路径包含着其它的最短路径。在某些单源最短路径问题中可能包括权重为负值的边。如果从结点s到结点v的某条路径上存在权重为负值的环路，则定义δ=(u,v)=-∞。

最短路径的表示

    在通常情况下，不但需要计算出最短路径权重，还需要计算出最短路径上的结点。给定图G=(V,E)，对于每个结点v，维持一个前驱结点v.π，该前去结点可能是另一个结点或者NIL。最短路径算法将对每个结点的π属性进行设置，这样，将从结点v开始的前驱结点链反转过来，就是从s到v的一条最短路径。给定结点v，且v.π≠NIL，PRINT_PAT(G,s,v)打印出的就是从结点s到结点v 的一条最短路径。
    但是，在运行最短路径算法的过程中，π值并不一定能给出最短路径。定义结点集Vπ为图G中的前驱结点不为NIL的结点的集合，再加上源结点s，即Vπ={v∈V:v.π≠NIL}∪{s}。有向边集合Eπ是由Vπ中的结点的π值所诱导的边的集合，即Eπ={(v.π,v) ∈E:v∈Vπ-{s}}。
    单源最短路径算法所生成的π值具有如下性质：在算法终止时，Gπ是一棵“最短路径树”。非形式化的说，最短路径树是一棵具有根结点的树，该树包括了从源结点s到每个可以从s到达的结点的一条最短路径。设G=(V,E)是带权重的有向图，其权重函数为w：E→R，假定G不包含从s可以到达的权重为负值的环路。一棵根结点为s的最短路径树是一个有向子图G’=(V’,E’)，满足：

• V’是图G中从源结点s可以到达的所有结点的集合。
• G’形成一棵根结点为s的树。
• 对于所有的结点v∈V’，图G’中从结点s到v的唯一简单路径是图G中从结点s到结点v的一条最短路径。

    需要指出的是，最短路径不一定是唯一的，最短路径树叶不一定是唯一的。

松弛操作

    对于每个结点v来说，为一个属性v.d用来记录从源结点s到结点v的最短路径权重的上界，称v.d为s到v的最短路径估计。使用如下的算法来对最短路径估计和前驱结点进行初始化：

INITIALIZE_SINGLE_SOURCE(G, s)for each vertex v ∈ G.V  v.d = ∞  v.π = NILs.d = 0

    对一条边(u,v)的松弛过程为：将从结点s到u之间的最短巨鹿加上结点u和v之间的权重，并与当前的s到v的最短路径估计进行比较，如果前者更小，则对v.d和v.π进行更新。

RELAX(u,v,w)if v.d > u.d + w(u,v)  v.d = u.d + w(u,v)  v.π = u

几个性质

    最短路径和松弛操作的一些性质如下：

• 三角不等性质：对于任何边(u,v) ∈E，有δ(s,v)≤δ(s,u)+w(u,v)。
• 上界性质：对于所有的结点v∈V，有v.d≥δ(s,v)。一旦v.d的取值达到δ(s,v)，其值将不再变化。
• 非路径性质：如果从结点s到结点v之间不存在路径，则总是有v.d=δ(s,v)=∞。
• 收敛性质：对于某些结点u,v∈V，如果s是图G中的一条最短路径，并且在对边（u,v）进行松弛前的任意时间有u.d=δ(s,u)，则在之后的所有时间有v.d=δ(s,v)。
• 路径松弛性质：如果p=(v0,v1,•••,vk)是从源结点s=v0到结点vk的一条最短路径，并且我们对p中的边所进行松弛的次序为(v0,v1),(v1,v2),•••,(v(k-1),vk)，则vk.d=δ(s,vk)。
• 前驱子图性质：对于所有的结点v∈V，一旦v.d=δ(s,v)，则前驱子图是一棵根结点为s的最短路径树。

Bellman-Ford算法

    Bellman-Ford算法解决的是一般情况下的单源最短路径问题，边的权重可以为负值。给定带权重的有向图G=(V,E)和权重函数w:E→R，Bellman-Ford算法返回一个布尔值，以表明是否存在一个从源结点可以到达的权重为负值的环路。如果存在这样的一个环路，算法将告诉我们不存在解决方案。如果没有这种环路存在，算法将给出最短路径和它们的权重。
    Bellman-Ford算法通过对边进行松弛操作来渐近的降低从源结点s到每个节点v的最短路径的估计值v.d，知道该估计值与实际的最短路径权重δ(s,v)相同时为止。该算法返回TRUE值当且仅当输入图不包含可以从源结点到达的权重为负值的环路。

BELLMAN_FORD(G, w, s)INITIALIZE_SINGLE_SOURCE(G, s)for i = 1 to |G.V – 1|  for each edge(u,v) ∈G.E    RELAX(u, v, w)for each edge(u,v) ∈ G.E  if v.d > u.d + w(u,v)    return FALSEreturn TRUE

    一个运用Bellman-Ford算法的过程示例如下图所示。

Dijkstra算法

    Dijkstra算法解决的是带权重的有向图上单源最短路径问题，该算法要求所有边的权重都为非负值。
    Dijkstra算法在运行过程中维持的关键信息是一组结点集合S。从源结点s到该集合中每个结点之间的最短路径已经被找到。算法重复从结点集V-S中选择最短路径估计最小的结点u，将u加入到集合S，然后对所有从u出发的边进行松弛。使用一个最小优先队列Q来保存集合，每个结点的关键值为其d值。

DIJKSTRA(G, w, s)INITIALIZE_SINGLE_SOURCE(G, s)S = NULLQ = G.Vwhile Q ≠ NULL  u = EXTRACT_MIN(Q)  S = S ∪ {u}  for each vertex v ∈ G.Adj[u]    RELAX(u, v, w)

    一个执行该算法的过程示例如下图所示。

有向无环图的单源最短路径问题

    根据结点的拓扑排序次序来对带权重的有向无环图G=(V,E)进行边的松弛操作，便可以计算出从单个源结点到所有结点之间的最短路径。在有向无环图中，即使存在权重为负值的边，但因为没有权重为负值的环路，最短路径都是存在的。
    首先对有向无环图进行拓扑排序，确定结点之间的一个线性次序。如果有向无环图包含从结点u到结点v的一条路径，则v在拓扑排序的次序中位于结点v的前面。只需要按照拓扑排序的次序对结点进行一遍处理即可。每次对一个结点进行处理时，对从该结点出发的所有的边进行松弛操作。

DAG_SHORTEST_PATHS(G, w, s)topologically sort the vertices of GINITIALIZE_SINGLE_SOURCE(G, s)for each vertex u, taken in topologically sorted order  for each vertex v ∈ G.Adj[u]    RELAX(u, v, w)

    一个执行该算法的过程示例如下图所示。