(1.5.2.6)精准表达浮点数
来源:互联网 发布:网络教育的毕业证 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 16:53
题目来自编程之美
题目:
举例:
0.3333(3333) = 1/3
0.285714(285714) = 2/7
0.3(000) = 3/10
0.25 = 1/4
思路:
拿到这样一个问题,我们往往会从最简单的情况入手,因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和,不妨只考虑大于0,小于1的纯小数,而且暂时不考虑分子和分母的约分,先设法将其表示为分数形式,然后再进行约分。题目中输入的小数,要么为有限小数X=0.a1a2…an,要么为无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm),X的表示式中的字母a1a2…an,b1b2…bm都是0~9的数字,括号部分(b1b2…bm)表示循环节,我们需要处理的就是以上两种情况。
对于有限小数X=0.a1a2…an来说,这个问题比较简单,X就等于(a1a2…an)/10^n。
对于无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm)来说,其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分,我们可以做如下的转换:
X=0.a1a2…an(b1b2…bm)
=>10^n*X=a1a2…an.(b1b2…bm)
=>10^n*X=a1a2…an+0.(b1b2…bm)
=>X=(a1a2…an+0.(b1b2…bm))/10^n
对于整数部分a1a2…an,不需要做额外处理,只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分,可以采用如下方式进行处理:
令Y=0.b1b2…bm,那么
10^m*Y=b1b2…bm.(b1b2…bm)
=>10^m*Y=b1b2…bm+0.(b1b2…bm)
=>10^m*Y-Y=b1b2…bm
=>Y=b1b2…bm/(10^m-1)
将Y代入前面的X的等式可得:
X=(a1a2…an+Y)/10^n
=(a1a2…an+b1b2…bm/(10^m-1))/10^n
=((a1a2…an)*(10^m-1)+(b1b2…bm))/((10^m-1)*10^n)
至此,便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示,但是此时分母未必是最简的,接下来的任务就是让分母最小,即对分子和分母进行约分,这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B,可以简化成(A/Gcd(A,B))/(B/Gcd(A,B)),其中Gcd函数为求A和B的最大公约数,这就涉及本书中的算法(2.7节“最大公约数问题”),其中有很巧妙的解法,请读者阅读具体的章节,这里就不再赘述。
综上所述,先求得小数的分数表示方式,再对其分子分母进行约分,便能够得到分母最小的分数表现形式。
例如,对于小数0.3(33),根据上述方法,可以转化为分数:
0.3(33)
=(3*(10^2-1)+33)/((10^2-1)*10)
=(3*99+33)/990
=1/3
对于小数0.285714(285714),我们也可以算出:
0.285714(285714)
=(285714*(10^6-1)+285714)/((10^6-1)*10^6)
=(285714*999999+285714)/999999000000
=285714/999999
=2/7
代码:
代码的实现,
1、有无限循环部分。主要通过对string进行处理,获得循环和非循环部分,然后通过atoi函数来实现字符串到整形数组的转换。
最后通过上面的推导的公式来实现求分数,然而分数要求简化,那么我们需要对分子和分母同时除以最大公约数,gcd(a,b).
2、只有有限部分。直接求解。
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#include <string>
#include <assert.h>
#include <math.h>
using namespace std;
long long Gcd(long long x, long long y)
{
if (y > x)
{
return Gcd(y, x); /*要求x > y*/
}
return y == 0 ? x : Gcd(y, x - y);
}
void RepresentExactly(string strNum)
{
assert(strNum != "");
string strLimited;
string strUnLimited;
int nLenLimited = 0;
int nLenUnLimited = 0;
long long llMolecule = 0;
long long llDenominator = 0;
int nLimited = 0;
int nUnLimited = 0;
long long llGcd = 0;
double x = 10;//指数的底数
string::size_type Start = strNum.find('(');
if (Start != strNum.npos)//找到
{
string::size_type End = strNum.find(')', Start);
//取出两部分字符串
strLimited = strNum.substr(2, Start - 2);
strUnLimited = strNum.substr(Start + 1, End - Start - 1);
//获得两部分字符串的长度
nLenLimited = strLimited.size();
nLenUnLimited = strUnLimited.size();
assert(nLenLimited > 0 && nLenUnLimited > 0);
//获得两部分字符串对应的整数
nLimited = atoi(strLimited.c_str());
nUnLimited = atoi(strUnLimited.c_str());
//求对应分数的分子和分母
llMolecule = static_cast<long long>(nLimited * (pow(x, nLenUnLimited) - 1) + nUnLimited);
llDenominator = static_cast<long long>(pow(x, nLenLimited) * (pow(x, nLenUnLimited) - 1));
llGcd = Gcd(llMolecule, llDenominator);
cout << llMolecule / llGcd << " / " << llDenominator / llGcd << endl;
}
else
{
strLimited = strNum.substr(2);
nLenLimited = strLimited.size();
llMolecule = atoi(strLimited.c_str());
llDenominator = static_cast<long long>(pow(x, nLenLimited));
llGcd = Gcd(llMolecule, llDenominator);
cout << llMolecule / llGcd << " / " << llDenominator / llGcd << endl;
}
}
int main()
{
//string str = "0.3333(3333)";
//string str = "0.285714(285714)";
//string str = "0.33(3)";
//string str = "0.3(000)";
string str = "0.25";
//string str = "0.30";
RepresentExactly(str);
system("pause");
return 1;
}
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