最大二分匹配问题

利用匈牙利算法&Hopcroft-Karp算法解决二分图中的最大二分匹配问题 例poj 1469 COURSES

    首先介绍一下题意：已知，有N个学生和P门课程，每个学生可以选0门，1门或者多门课程，要求在N个学生中选出P个学生使得这P个学生与P门课程一一对应。

    这个问题既可以利用最大流算法解决也可以用匈牙利算法解决。如果用最大流算法中的Edmonds-karp算法解决，因为时间复杂度为O(n*m*m),n为点数，m为边数，会超时，利用匈牙利算法，时间复杂度为O(n*m)，时间复杂度小，不会超时。

     其实匈牙利算法就是最大流算法，只不过它的使用范围仅限于二分图，所以可以称之为“二分图定制版的最大流算法”，既然是定制的，那么他就会考虑到二分图的特殊性，优化原来的最大流算法，降低时间复杂度，同时也变得有点复杂不容易理解了。既然匈牙利算法继承自最大流算法，所以他的算法框架与最大流算法是一样的：

最大流算法与匈牙利算法的框架：

初始时最大流为0（匈牙利算法为：最大匹配为空）

while 找到一条增广路径（匈牙利算法为：取出未遍历的左边的点u）

       最大流+=增广路径的流量，更新网络（匈牙利算法为：如果点u存在增广路径，增广路径取反，最大匹配增加1对匹配）

   我们知道在利用最大流算法解决最大匹配问题时，首先需要构建一个超级源点s和超级汇点t，并且边是有方向的和容量（为1）的(如图8所示)，而利用匈牙利算法则不需要构造s,t，边也没有方向和容量。表面上看匈牙利算法中的边没有方向和容量，其实在它对增广路径的约束中我们可以看到边的方向和容量的“影子”，如下红色标注的约束。

  匈牙利算法对增广路径的约束 参见[1] ：

  (1)有奇数条边。
  (2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
  (3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）
  (4)整条路径上没有重复的点。
  (5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。（如图5，图6所示，［2,5］是已经配好对的点；而起点3和终点7目前还没有与其它点配对。）
  (6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。（如图5，图6所示，原有的匹配［2，5］在在图6给出的增广路径（红线所示）中是第2条边。而增广路径的第1、3条边都没有出现在图5给出的匹配中。）
  (7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。（如图6所示，新的匹配就是所有被红色的边所覆盖的黑色的边，而所有红色的边所覆盖的黄色的边则从原匹配中删除，最终匹配结果如图7黄色的边所示。则新的匹配数为3。）

  为了便于理解，下面给出利用最大流算法和匈牙利算法解决最大二分匹配的图示。图1为初始二分图，图1->图7为利用匈牙利算法求解最大二分匹配的过程，图8为利用图1二分图所构建的流网络，图8->图14为利用最大流算法求解最大二分匹配的过程,最终求得的最大流为所有增广路径（如图9，图10，图11所示）增加的流相加：1+1+1=3。

   下面介绍一下Hopcroft-Karp算法，这个算法的时间复杂度为O(n^(1/2)*m)。该算法是对匈牙利算法的优化，如图1-图7，利用匈牙利算法一次只能找到一条增广路径，Hopcroft-Karp就提出一次找到多条不相交的增广路径（不相交就是没有公共点和公共边的增广路径），然后根据这些增广路径添加多个匹配。说白了，就是批量处理！为了容易理解，我构造了一个图例，见图15-图18。