bzoj2257 裴蜀定理

2257: [Jsoi2009]瓶子和燃料

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Description

jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。 
有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy
的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy
将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只
在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。 
火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料
库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火
星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：1、将某个瓶子装满燃料；
2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满
或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能
得到的最小正体积。 
jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找
到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。 

Input

第1行：2个整数N,K，  
第2..N 行：每行1个整数，第i+1 行的整数为Vi  

Output

仅1行，一个整数，表示火星人给出燃料的最大值。

Sample Input

3 2

3

4

4

Sample Output

4

HINT

选择第2 个瓶子和第 个瓶子，火星人被迫会给出4 体积的容量。 

裴蜀定理：设a1,a2,a3......an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d

以上三个操作可以看成n为向量的加法运算，第一种操作相当于加了(0,0,...1,...0,0),1可以第i位（1<=i<=n）,第二种操作相当于加了（0,0,....-1,...,0,0）,-1可以使第i位(1<=i<=n),第三种操作相当于加了(0,0,....-1,..0,..1,...0,0),1为第i位，-1为第j位，(1<=i,j<=n&&i!=j),显然由这三种向量基构造出任意的整数向量，而根据裴蜀定理最后结果就是k个数的最大公约数，此题转化为在n个数中求k个数，使其最大公约数最大，通过分解每个数的因子，我们只需要判断一下，最大的因子满足个数大于等于k即可。

这样跑下来大概是3秒多，跪拜第一页的神牛，不知道用了什么方法，才100多ms。

代码：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std; int a[1000010];int main(){    int n,k;    ll x;    int tot=0;    scanf("%d%d",&n,&k);    for(int i=0;i<n;i++){        scanf("%lld",&x);        for(ll j=1;j*j<=x;j++){            if(x%j==0){                a[tot++]=j;                if(x!=j*j) a[tot++]=x/j;            }        }    }    sort(a,a+tot);    int res=1;    for(int i=tot-2;i>=0;i--){        if(a[i]!=a[i+1]) res=1;        else{            if(++res>=k){                res=a[i];                break;            }        }    }    printf("%d\n",res);    return 0;}