HDU 1576 A/B (扩展欧几里德算法)

连接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

Sample Input

21000 5387 123456789

 

Sample Output

79226060
题意：要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

数论的解法：数学式子推一推，大循环就出来了，没想到啊。

设A = k * 9973 + n  ,A/ B = C, C = P * 9973 + x,x即为我们所求的答案。易知，A = k* 9973 + n =B * P * 9973 + B * x,化简后得k * 9973 = B * P * 9973 + B * x - n，因此(B * x - n)%9973 = 0,n的值知道，B的值知道，又因为x的取值范围是0到9972，因此枚举x的值即可，满足条件的就是答案。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<string.h>using namespace std;int main(){    int N;    scanf("%d",&N);    while(N--)    {        long long  n,b;        long long x;        scanf("%lld%lld",&n,&b);        for(int i=0;i<9973;++i)        {            if((b*i-n)%9973 == 0)            {                x=i;                break;            }        }        printf("%lld\n",x);           }    return 0;}

扩展欧几里得算法（模板）：

__int64 Extended_Euclid(__int64 a,__int64 b,__int64& x,__int64& Y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    __int64 r=Extended_Euclid(b,a%b,x,y)    __int64 temp=x;x=y;y=t-a/b*y;    return r; //r为a,b的最大公约数}

扩展欧几里德算法：
　　扩展欧几里德算法是用来在已知的非负整数（否则需要将式子变形，如求5x-13y=1的解则变形为5x+(-13y)=1,然后再对结果做处理即可）a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

下面是一个使用C++的实现：
　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;
　　y = 0;
　　return a; ---很难找出一个这么实现的价值，因为扩展欧几里得还有更大的用途；个人认为定义全局数组更好,不用return r。
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　return r;
　　}
使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
　　对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(a, b)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
　　上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，可以证明p0为0附近的最小解，*p * a+q * b = Gcd(a, b)的其他整数解满足：
　　p = p0 + b/Gcd(a, b) * t
　　q = q0 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数，p,q中的t相同)
　　至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(a, b)的每个解乘上 c/Gcd(a, b) 即可
　　在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是
　　得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，p * a+q * b = c的其他整数解满足：
　　p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
　　q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数，p,q中的t相同)
　　p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

// Note:Your choice is C++ IDE#include <iostream>using namespace std;#define k 9973int uex(int a,int b,int &x,int &y){    int r;    int t;    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    r=uex(b,a%b,x,y);    t=x;    x=y;    y=t-a/b*y;    return r;}int main(){    int T,t,n,b,x,y;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        scanf("%d%d",&n,&b);        uex(b,k,x,y);        x*=n;        if(x<0)        {            t=-x;            t=t%k;            x=k-t;     //或者不用t变量  直接x=k-(-x)%k;或者用while(x<0){x+=k/1;},不过不推荐使用，因为可能会超时！最好用 x=(x%k+k)%k即可，if语句也不用了;          }        printf("%d\n",x%k);    }    return 0;}

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