HDU4565 So Easy!【矩阵连乘】【推导】

来源：互联网发布：mysql随机取数据编辑：程序博客网时间：2024/05/29 13:24

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565

题目大意：

定义Sn = [( a + √b )^n] % m，[x]表示x向上取整，比如[3.14] = 4。给你a b n m的值，

求Sn是多少。

思路：

这道题很经典，因为(a-1)^2< b < a^2，所以0 < |a-√(b)| < 1，所以

Sn = [( a + √b )^n] % m = ( [( a + √b )^n] + [( a - √b))^n] ) % m。

即右边其实是一个整数，如果将右边二项式展开的话，除了相互抵消的部分，剩下的部分全为

整数。这个式子设An = (a + √b)^n，Bn = (a - √b)^n，Cn = [An]，Sn = Cn % m。

先来求Cn的递推公式。

设Cn = pC(n-1) + qC(n-2)，特征方程为x^2 = p*x + q，从[( a + √b )^n] + [( a - √b))^n]

可以看出特征根分别为a + √b和a - √b。则p = 2*a，q = b - a^2。

则Cn = 2*a*C(n-1) + (b-a^2)C(n-2)。然后开始构造矩阵

[ Cn ] = [ 2*a b-a^2 ] * [C(n-1)]

[C(n-1)] [ 1 0 ] [C(n-2)]

[ Cn ] = [ 2*a b-a^2 ] ^(n-2) * [C2]

[C(n-1)] [ 1 0 ] [C1]

由上边Sn公式可知，C2 = 2*(a^2 + b)，C1 = 2*a。

然后用矩阵快速幂求解得到Cn，然后输出就可以了。

AC代码：

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#define LL __int64using namespace std;const int MAXN = 2;struct Matrix{    LL m[MAXN][MAXN];};LL A,B,N,M,ret,mo;Matrix I ={    1,0,    0,1};Matrix Multi(Matrix a, Matrix b,LL mo){    Matrix c;    for(int i = 0; i < MAXN; ++i)    {        for(int j = 0; j < MAXN; ++j)        {            c.m[i][j] = 0;            for(int k = 0; k < MAXN; ++k)            {                c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j];            }            c.m[i][j] %= mo;        }    }    return c;}Matrix Power(Matrix a, LL k){    Matrix ans = I, p = a;    while(k)    {        if(k&1)            ans = Multi(ans,p,mo);        p = Multi(p,p,mo);        k >>= 1;    }    return ans;}int main(){    Matrix a,ans;    while(cin >> A >> B >> N >> mo)    {        a.m[0][0] = 2*A%mo;        a.m[0][1] = ((B%mo-A*A%mo)%mo + mo) % mo;        a.m[1][0] = 1;        a.m[1][1] = 0;        if(N == 1)            cout << 2*A % mo << endl;        else        {            ans = Power(a,N-2);            ret = (ans.m[0][0]%mo*2*(A*A%mo+B%mo)%mo + 2*A%mo*ans.m[0][1]%mo)%mo;            ret %= mo;            cout << ret << endl;        }    }    return 0;}

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