hdu4565 So Easy!(矩阵快速幂)

来源：互联网发布：软件项目管理办法编辑：程序博客网时间：2024/05/29 14:47

题意：

告诉你a,b,n,m,求

0<a,m<2^15 , (a-1)^2<b<a^2 , 0<b,n<2^31

解题思路：

我们首先对（a+sqrt(b))^n进行处理，由a+sqrt(b))^n的展开式我们可以知道

(a+sqrt(b))^n = Xn + Yn * sqrt(b);

那么

( a + sqrt( b ) )^( n + 1 ) = ( a + sqrt( b ) ) * ( Xn + Yn * sqrt(b) ) = ( a * Xn + b * Yn ) + ( a * Yn + Xn ) * sqrt( b );

则

Xn+1 = ( a * Xn + b * Yn )

Yn+1 = ( a * Yn + Xn )

将其转化为矩阵，则

递推下去可以得到

所以

Xn = a * X0 + b * Y0;

Yn = X0 + a * Y0;

由于 (a-1)^2<b<a^2 ，

那么 0 < ( a - sqrt( b ) )^ n < 1

又 ( a + sqrt( b ) )^ n + ( a - sqrt( b ) )^ n = 2 * Xn

那么 ( a + sqrt( b ) )^ n 向上取整的值就是 2 * Xn

最终

Sn = （ 2 * Xn ）% m;

参考代码：

#include <iostream>#include <math.h>#include <stdio.h>using namespace std;typedef long long ll;struct Matrix{ll mat[2][2];};Matrix mul(Matrix a,Matrix b,ll mod){Matrix ans;for (int i=0;i<2;i++){for (int j=0;j<2;j++){ans.mat[i][j]=0;for (int k=0;k<2;k++){ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j]);ans.mat[i][j]%=mod;}}}return ans;}Matrix Init(){Matrix ans;for (int i=0;i<2;i++){for (int j=0;j<2;j++){if (i==j)ans.mat[i][j]=1;elseans.mat[i][j]=0;}}return ans;}Matrix exp(Matrix a,ll k,ll m){Matrix ans=Init();while (k){if (k&1)ans=mul(ans,a,m);a=mul(a,a,m);k>>=1;}return ans;}int main(){Matrix M;ll a,b,n;ll m;while (~scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&n,&m)){M.mat[0][0]=M.mat[1][1]=a;M.mat[0][1]=b;M.mat[1][0]=1;Matrix ans=exp(M,n,m);/*for (int i=0;i<2;i++){for (int j=0;j<2;j++)cout<<ans.mat[i][j]<<" ";cout<<endl;}*/ll x=ans.mat[0][0];cout<<(2*x)%m<<endl;}return 0;}

1 0