WOJ 1583 Palindrome（回文自动机）

题目大意：给出一个字符串，求出从哪个位置分开，使得前半部分的本质不同的回文串个数恰是后半部分的两倍。如果有多个方案，把所有前半部分字符个数相乘起来后模1e9+7。

很神奇的一种数据结构，模板大部分参考了这篇博客：【回文自动机】ural2040 - huyuncong的专栏 - 博客频道 - CSDN.NET

个人觉得这个改进后的算法相较cf上的初始算法在性能上优越些。

回文自动机和AC自动机很相似，都拥有失配指针，并且利用next数组保存儿子信息。

然而因其回文的特性，next数组只会储存回文串的后半段（奇数长度的回文串会保存中间值）。

并且，结点的含义也变化了，不再像AC自动机一样，一个结点代表着一个字符，回文自动机的每个结点都代表着一个回文串。

所以回文自动机需要将字符串存储下来，结点总数就是串中回文串的总数。

 

另外，回文串支持在线操作，因为其本身就是在线的，即插入一个字符，就可以得到目前串的总回文串的个数。

 

首先要说明两个性质：

1.长度为n的串，其本质不同的回文串最多不会超过n个；

2.新加进来一个字符后，若以这个字符为结尾能构成新的回文串，那么这个回文串的最长长度不会超过之前串的最长后缀的长度再加2；并且，如果这个新的回文串长度是之前串的最长后缀的长度再加2，那么它将变为新的最长回文后缀。

 

性质1的证明：

首先两个本质不同的回文串必然不会拥有相同左右端点，假设两个回文串的长度一个是len1(len1 >=1)，一个是len2(len2 >=1)，那么为了包含这个两个回文串，则会出现三种情况：

a.两者不能构成相互包含的关系，则需要的最少空间是max(len1, len2) +1;

b.两者可以构成相互包含的关系，则需要的最少空间是max(len1, len2)>= min(len1, len2) + 1。

显然，为了包含n个本质不同的回文串，两两比较后，在考虑到回文串之间相互位置的情况下，则最少需要的空间是min(len1, len2,..., lenn) + (n - 1)。而min(len1, len2, ..., lenn) >= 1，所以为了包含n个本质不同的回文串最少需要的空间是n个字符。这样从侧面证明n个字符最多只能构成n个本质不同的回文串。

 

性质2的证明：

假设新加进来一个字符后，使得新的回文后缀的长度len2超过了原来的回文后缀长度len1再加2，那么说明新的回文后缀的去掉两个端点后，剩下的部分也是一个回文串，并且长度为len2 - 2 >len1。但去掉两个端点后，剩下部分就是之前没加新字符的后缀，这与最长回文后缀的定义相悖。

 

下面解释一下每个成员的含义。

 

首先先琢磨一下palin函数的意义：

已经知道l[x]是一个回文后缀的长度了，要看x+l[x]+y是不是回文串，只用检查x和y相不相同即可。

（为了不特判（在palin里面），我们规定字符串的其实下标为1，在第0位放上一个从未出现过的字符。）

 

next[i][k]结点i的以字母k为儿子的回文串的结点编号。如果不存在则为0。假定串bbb的编号为3，abbba的编号为6，那么next[3][0] = 6。

 

fail[i]表示当i失配时，应该去匹配的下一个次长回文后缀的编号。相当于最长回文后缀的除自己外的最长回文后缀。

 

比如abbabba的fail指向abba。

 

l[i]代表回文串i的长度。

 

last指针表示已经插入的串中，以最后一个字符为结尾的最长回文串的编号（最长回文后缀）。

 

ro：奇数根（恒定为1）；re：偶数根（恒定为2）。ro的儿子都是单个字符的回文串（a、b、c等），re的儿子都是某个字符两个一起组成的回文串（aa、bb、cc等）。

 

last初始值指向ro；

len[ro] = -1（这样palin时比较的字符就是自己本身）；

len[re] = 0（这样palin时 比较的字符是自己的前一个）；

fail[ro]不会用到，因为自己跟自己一定会匹配成功；

fail[re] = ro，如果不能和前面一个字符构成aa型回文串，那只能自己和自己搭了。

 

接下来是Add操作。

 

Add操作可以一次完成添加字符，纪录子节点并为它构造fail指针，更新回文串总数，最后再更新last指针四个功能。若还想添加计数功能，再新添一个cnt数组，每到达一次某个回文串结点增加1即可，另外还可以添加纪录位置功能等。

 

Add操作是如何完成上述功能的呢？

 

首先已经知道last指向最长回文后缀x。我们无需关心这个回文串的具体内容是什么，只需要知道它的长度是多少就可了，因为Add函数的参数还包括了加进来字符c的位置k，通过查询len[x]，看越过中间len[x]长的字符后，前第len[x]+1（位置应当是k-1-len[x]）字符是不是和新加来的c相同，若相同，显然这是一个回文串，并且长度是len[k]+2。如果不能匹配，那么通过fail指针查下一个次长回文后缀。

 

假设回文后缀t的前一个字符和c匹配成功了，那么c+t+c就是一个回文串，如果c+t+c以前出现过（next[t][c]不为0），那么就是t的儿子next[t][c]。

 

如果不存在，回文树的结点增加，并纪录next[t][c]。接着为next[t][c]构造fail指针。如果t是ro，那么它的失配指针是re。后来者最不济也要和自己的前一个比较一下。

 

否则，和AC自动机的失配指针构造方法类似，找沿着t的失配指针，使得出现一个回文后缀w满足它的前一个和c匹配即可。那么c+t+c的fail指向next[w][c]。

 

并且next[w][c]是一定存在的。

 

为什么一定会存在呢？有三种情况：

1.    t为偶数回文后缀：

a． 找得到w，且w的长度小于或大于或等于t的一半，w的前一个字符c一定是关于t的对称轴对称的，那么c+w+c是一个已经出现过的回文串了；

b． 找不到和c匹配的回文后缀，那么沿着fail指针会走到ro，于是和自己匹配，"c"这个串是一定会存在的。

2.    t为奇数回文后缀：

a． 找得到w，且w加上前面的c的总长度小于或大于t的一半，w的前一个字符c一定是关于t的对称轴对称的，那么c+w+c是一个已经出现过的回文串了；

b． 找不到和c匹配的回文后缀，那么沿着fail指针会走到ro，于是和自己匹配，"c"这个串是一定会存在的；

c． 唯一能和c匹配的字符正好在整个串的中间，那么会有这样的情况：

baaabaaab型，这个时候，baaabaaab的fail是指向baaab的，但很容易可以得出，分立对称轴两侧的左右两边（包括对称轴）是镜像相同的，所以baaab是一个已经存在过了的回文串；

aaabaaab型，这个时候，最长回文后缀是baaab，它的fail是指向b的，然后就很明晰了，b是必然存在的。

 

这样就是整个回文自动机的全部了，代码量不多。

 

然后是WOJ 1583的思路：

我们知道回文自动机可以在线的求出1~i的字符之间有多少个本质不同的回文串，想要求i+1~n之间的，只需要把字符串逆过来构造一次回文自动机就可以了。

推荐几个题目：

URAL 2040

BZOJ 2565

 

#include <algorithm>#include <iostream>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;#define MAXN 100100#define MAXK 26#define palin(x, id, c) (s[id - 1 - l[x]] - 'a' == c)#define MOD 1000000007#define LL long longchar str1[MAXN], str2[MAXN];int ans1[MAXN], ans2[MAXN];struct Trie{    int next[MAXN][MAXK], fail[MAXN], l[MAXN];    int sz, ro, re, last;    void Init(char *s)    {        sz = 0;        ro = ++sz, l[ro] = -1, fail[ro] = ro;        memset(next[sz], 0, sizeof(next[sz]));        re = ++sz, l[re] =  0, fail[re] = ro;        memset(next[sz], 0, sizeof(next[sz]));        last = ro;        s[0] = '$';    }    void Add(char *s, int c, int id)    {        while(!palin(last, id, c)) last = fail[last];        if (next[last][c]) last = next[last][c];        else        {            int x = last;            ++sz;            memset(next[sz], 0, sizeof(next[sz]));            next[x][c] = sz, l[sz] = l[x] + 2;            if (x == ro) fail[sz] = re;            else            {                x = fail[x];                while(!palin(x, id, c)) x = fail[x];                fail[sz] = next[x][c];            }            last = sz;        }    }}pt;int main(){//    freopen("J.in", "r", stdin);    int t; scanf("%d", &t);    getchar();    while(t--)    {//        scanf("%s", str1 + 1);        gets(str1 + 1);        int len = strlen(str1 + 1);        for(int i = 1; i <= len; i++) str2[len - i + 1] = str1[i];        pt.Init(str1);        for(int i = 1; i <= len; i++) pt.Add(str1, str1[i] - 'a', i), ans1[i] = pt.sz - 2;        pt.Init(str2);        for(int i = 1; i <= len; i++) pt.Add(str2, str2[i] - 'a', i), ans2[i] = pt.sz - 2;        LL ans = 1;        bool flag = true;        for(int i = 1; i < len; i++) if(ans1[i] == ans2[len - i] << 1)            ans *= i, ans %= MOD, flag = false;        if(flag) puts("0");        else printf("%lld\n", ans);    }    return 0;}