快速乘法/幂 算法详解

适用范围：快速计算a*b % mod的结果（主要目的是换乘法为加法，防止爆数据），或者快速计算a^b % mod 的结果，时间复杂度大大降低。

算法描述：首先你可能会问a*b不是直接乘就出来了么，为什么需要快速算法？但是乘法在计算机中处理的时间并不是这么快的，也要拆分为加法来做的。所以快速乘法会更快的计算a*b的结果，而且a*b%mod可能还没取模就已经爆long long，但快速乘法却不会。快速幂也是同样的道理。

实现的原理都是基于按照二进制位一步一步乘来避免重复的操作，利用前面的中间结果，从而实现快速的目的。

对于乘数b来说，势必可以拆成2进制，比如110101。有一些位为0，有一些位为1。根据乘法分配律：a*b=a*（b1+b2+b3+……）

那么对于a*53 = a*110101（二进制）= a*（100000+10000+100+1）=a*（100000*1+10000*1+1000*0+100*1+10*0+1*1）。

那么设立一个ans=0用于保存答案，每一位让a*=2，在根据b的对应为1看是不是加上此时的a，即可完成快速运算。比如刚才的例子让a=5，运转流程如下。

即可计算出5*53=265。

不知道看到这里你发现了没有，其实对于快速幂其实是一样的道理，只不过每一位a更新的时候不是*2，而是a=a*a，ans+变成ans*。

例如3^9的流程如下：3^5=3^(1001) （二进制）= 3^(1000*1+100*0+10*0+1*1)

最后说一些细节吧，如果要取模在ans+、ans*、和a更新的时候都%mod即可。然后b一位一位的读取每次b/=2或者b>>=1，表示b向右移动一位，再与1做&操作即可。（见代码）

上代码：

#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm>  #include <cmath>  #include <cstring>  #include <map>  using namespace std;long long q_mul( long long a, long long b, long long mod ) //快速计算 (a*b) % mod{long long ans = 0;// 初始化while(b)//根据b的每一位看加不加当前a{if(b & 1)//如果当前位为1{b--;ans =(ans+ a)%mod;   //ans+=a}b /= 2;//b向前移位a = (a + a) % mod;//更新a}return ans;}long long q_pow( long long a, long long b, long long mod ) //快速计算 (a^b) % mod{long long ans = 1; // 初始化while(b)//根据b的每一位看乘不乘当前a{if(b & 1)//如果当前位为1{ans = q_mul( ans, a, mod ); //ans*=a}b /= 2;//b向前移位a = q_mul( a, a, mod );//更新a}return ans;}int main( ){long long a, b, n;while(cin >> a >> b >> n){cout << "a*b%n = " << q_mul( a, b, n ) << endl;cout << "a^b%n = " << q_pow( a, b, n ) << endl;}return 0;}

好了，五一节就这么结束了，又要开学啦，，烦躁。