九章算法面试题37 主元素

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http://www.jiuzhang.com/problem/37/

题目

主元素(Majority Number)定义为数组中出现次数严格超过一半的数。找到这个数。要求使用O(1)的额外空间和O(n)的时间。

进阶1：如果数组中存在且只存在一个出现次数严格超过1/3的数，找到这个数。要求使用O(1)的额外空间和O(n)的时间。

进阶2：如果数组中存在且只存在一个出现次数严格超过1/k的数，找到这个数。要求使用O(k)的额外空间和O(n)的时间

解答

采用抵消法。一旦发现数组中存在两个不同的数，就都删除，直到剩下的数都一样。此时剩下的数就是主元素。因为每次抵消操作之后，剩下来的数种，主元素一定也还是超过一半的。具体实现的时候，记录一个candidate和其出现的次数count，遍历每个数，如果count==0，则把candidate置为遍历到的数，否则看遍历到的数和candidate是否相等，如果相等，则count++，否则count--（抵消），遍历结束后，candidate就是主元素。

进阶1：思路是，如果出现3个不一样的数，就抵消掉。记录两个candidate和每个candidate分别的出现次数。如果遍历到的数和两个candidate都不等，就count都减1。最后可能会剩下两个candidate，再遍历一次整个数组验证一下谁是主元素。

进阶2：思路是，如果出现k个不一样的数，就抵消掉。这里需要用巧妙的数据结构来记录Candidates，并使得如下操作均为O(1)：

1. 加入一个Candidate/给某个Candidate出现次数+1

2. Candidates中是否存在某个数

3. Candidates中所有数的出现次数 - 1

4. 移除出现次数为0的Candidates

对于1,2两个操作，我们自然可以想到使用Hash表来完成。对于第4两个操作，我们希望能够有出现次数最少的Candidate的信息，但是如果使用Heap则并非O(1)的时间复杂度。注意到每一次加入一个Candidate时，count均为1，每一次给改变一个Candidate出现次数时，也只涉及到加1运算。因此，如果我们能维护Candidates的有序性，就可以容易的解决这个问题。方法是，使用LinkedList。与普通的LinkedList不同的是，我们将所有出现次数相同的Candidate放在一个Bucket里，Bucket内部的Candidate用Doubly Linked List链接起来，Bucket之间也用Doubly Linked List链接起来。这样针对+1运算，我们只需要通过Hash表找到对应的Candidate，把Candidate从当前的Bucket移动到下一个Bucket（出现次数+1的Bucket)。另外，对于所有数-1的操作，我们记录全局的一个Base，每次-1操作，则Base+1。如果Base和Buckets中的第一个Bucket中的Candidates的出现次数相同，则整个删除第一个Bucket。最后，我们会得到最大k-1个Candidates，重新遍历一遍整个数组，用O(k)的Hash记录这k-1个Candidates的出现次数，就可以验证谁是真正的主元素。

面试官角度

利用了抵消法的题目，还有“落单的数”（九章算法面试题1），同样是有进阶问题。对于进阶问题而言，关键是要理解“抵消”的思路，既然2个数可以抵消，那么3个数k个数也可以抵消。抵消之后，剩下来的数中，主元素一定仍然超过1/3, 1/k。对于1/k的情况（进阶2），其实在面试中一般来说不会问到，这个题的解法是源自一篇论文，所以不会做的同学也不必过于担心。但进阶1还是需要掌握的，因为进阶1说明是否真正理解了原问题的解法，还是只是背了答案。