acm算法之树状数组

树状数组

核心思想：

如果我们只在单个元素上做文章，可能不会有太大的收获。但是如果对于这些数据元素进行合理的划分，然后对于整体进行操作，往往会有神奇的功效。

intLowbit(int x){return x&(-x);}

解释：

Lowbit的作用是返回2^（二进制表示的x的末尾0的个数）

相关操作：

1、修改第i个元素：

    从图示中我们可以看出，修改第i个元素，为了维护数组C的意义，需要修改C[i]以及C[i]的全部祖先，而非C[i]的祖先的节点则对于第i个元素的修改，不会发生改变。

    那么修改C[i]的全部祖先有多少个？从图示中可以看出，C[i]的祖先共有“树的高度 - C[i]节点高度”个，而有n个元素的树状数组的高度为[Log2N] 。

在元素修改过程中，修改C[i]并沿着树型结构一直向上回溯修改到树根，那么对于修改元素的操作需要修改树状数组中的LogN个节点，即时间复杂度为O(Log N)。

代码：

void add(int i,int num)

{

    while(i<=n)

    {

        c[i]+=num;

        i+=lowbit(i);

    }

}

2、区间[p,q]元素和查询

    刚才我们把数据进行了划分，其目的很显然，就是在对区间进行统计的时候可以对整体进行统计不是一个一个统计。对于其他的用于区间统计问题的数据结构大多也是这样的思路。

要求区间[p,q]元素和，可求[1,q]、[1,p]作差。则问题转化为如何查询一个区间[1,p]的元素和，即求s[p]。

回顾一下我们是如何划分树状数组的区间的，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数。因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

代码：

int sum(int i)

{

    int s=0;

    while(i>0)

    {

        s+=c[i];

        i-=lowbit(i);

    }

    return s;

}      

注：1.树状数组书写，运行起来比线段树简单，但使用范围比线段树窄。

        2.树状数组若用于i-j只适用于元素之间的运算满足加和关系，如求1-i中的最大值可以用树状数组，但是若求i-j之间的最大数，则无法用树状数组运算。

 例题：

同线段树例题一

Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。

中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。

每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。

接下来每行有一条命令，命令有4种形式：

(1)Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）

(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;

(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;

(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;

每组数据最多有40000条命令

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,

对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

SampleInput

1

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Query 1 3

Add 3 6

Query 2 7

Sub 10 2

Add 6 3

Query 3 10

End

SampleOutput

Case 1:

6

33

59

树状数组解法：（运行比线段树简单，时间也比线段树少）

#include<iostream>

using namespace std;

int n,tree[50005];

int Lowbit(int x)

{

    return x&(-x);

}

void Updata(int x,int c)

{

     for(int i=x;i<=n;i+=Lowbit(i))

        tree[i]+=c;

}

int Getsum(int x)

{

    int s=0;

    for(int i=x;i>=1;i-=Lowbit(i))

         s+=tree[i];

    return s;

}

int main(){

    int t,temp;

    scanf("%d",&t);

    for(int j=1;j<=t;j++){

        scanf("%d",&n);

        memset(tree,0,sizeof(tree)); //初始化

        for(int i=1;i<=n;i++){

             scanf("%d",&temp);

             Updata(i,temp);

        }

        cout<<"Case"<<j<<":"<<endl;

        char str[10];

        while(scanf("%s",str)!=EOF&& strcmp(str,"End")!=0 ){

               int a,b;

               scanf("%d%d",&a,&b);

              if(strcmp(str,"Query")==0)

                  cout<<Getsum(b)-Getsum(a-1)<<endl;

               elseif(strcmp(str,"Add")==0)

                   Updata(a,b);

               elseif(strcmp(str,"Sub")==0)

                   Updata(a,-b);                 

        }

    }

return 0;

}