Pku acm 1631 Bridging signals 动态规划题目解题报告(十三)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1631

这个题目可以转化为最长上升子序列，这样这个题目似乎就和2533 Longest Ordered Subsequence  1887 Testing the CATCHER一样了，迅速写下代码，结果超时！看来只能用O(nlogn)的算法了。

在O(n^2)的算法中：创建一个一维数组array[j]，opt[],array[j]表示序列的元素，opt[i]表示以第i个元素结尾的序列中的最长下降子序列，初始化为1，对于一个opt[i]，遍历前面的每个元素j，如果array[j]>array[i]且opt[j]>=opt[i],那么opt[j]就要加1，在这里，遍历前面的每个元素j，寻找此前最大的子序列时间复杂度为O(n)，如果我们在一个有序的序列中查找此前最大的序列长度，我们就可以用二分查找，时间复杂度就会降为O(logn),总的时间复杂度就会为O(nlogn)。为此，我们增加一个一维数组B，B[i]表示当前序列为i的末尾元素的最小值。例如对于序列：4 2 6 3 1 5 ：

i

1

2

3

4

5

6

array

4

2

6

3

1

5

opt

1

1

2

2

1

3

B

1

3

5

 

 

 

构建过程如下：

i=1时，opt[i]=1 B[i]=4(当前为1的序列的末尾元素的最小值)

opt

1

1

1

1

1

1

B

4

 

 

 

 

 

i=2时，2不大于4，所以opt[i]=1,将B[1]更新为2

opt

1

1

1

1

1

1

B

2

 

 

 

 

 

i=3时，6大于2，所以opt[i]=1+1,将B[2]更新为6

opt

1

1

2

1

1

1

B

2

6

 

 

 

 

i=4时，3在2 6之间，所以opt[i]=1+1,将B[2]更新为3

opt

1

1

2

2

1

1

B

2

3

 

 

 

 

i=5时，1小于2，所以opt[i]=1,将B[1]更新为1

opt

1

1

2

2

1

1

B

1

3

 

 

 

 

i=6时，5大于3，所以opt[i]=2+1,将B[3]更新为5

opt

1

1

2

2

1

3

B

1

3

5

 

 

 

opt[6]就是最后的结果。从构建的过程可以容易的证明一下两点：B是递增的。B是当前序列为i的末尾元素的最小值。以上“2不大于4”，“3在2 6之间”等等的判断采用二分查找，所以总的时间复杂度为：O(nlogn)，核心的c代码如下：

for(i=1;i<=n;i++)

{

      num = array[i];

      left = 1;

      right = Blen;

      while(left<=right)

      {

          mid = (left+right)/2;

          if(B[mid]<num)

             left = mid+1;

          else

             right = mid-1;

      }

      opt[i] = left;

      B[left] = num;

      if(Blen<left)

          Blen = left;

     if(max<opt[i])

              max = opt[i];

}

printf("%d/n",max);

 

带有详细注释的代码可以在http://download.csdn.net/user/china8848/获得