Binary Search 二分查找

在有序数组中（允许重复数字），查找第一个或最后一个目标数字。时间复杂度为O(logN)。如果需要优化O(n)的时间复杂度，那么只能是O(logn)的二分法。

基本模板：

0. 查找一个（原始方法）

private static int bs(int[] nums, int target) {int start = 0;int end = nums.length - 1;int mid;while (start <= end) {mid = start + ((end - start) >> 1);if (target < nums[mid]) {end = mid - 1;} else if (target > nums[mid]) {start = mid + 1;} else {return mid;}}return -1;}

1. 查找第一个

循环方法：

public static int firstBS(int[] nums, int target) {if (nums == null || nums.length == 0) {return -1;}int start = 0;int end = nums.length - 1;int mid;while (start + 1 < end) {mid = (start + ((end - start) >> 1));if (target < nums[mid]) {end = mid;} else if (target > nums[mid]) {start = mid;} else {end = mid;}}if (nums[start] == target) {return start;} else if (nums[end] == target) {return end;} else {return -1;}}

递归方法：

public static int firstBS(int[] nums, int target, int start, int end) {if (nums == null || nums.length == 0) {return -1;}if (start + 1 < end) {int mid = start + ((end - start) >> 1);if (target < nums[mid]) {return firstBS(nums, target, start, mid);} else if (target > nums[mid]) {return firstBS(nums, target, mid, end);} else {return firstBS(nums, target, start, mid);}} else {if (nums[start] == target) {return start;} else if (nums[end] == target) {return end;} else {return -1;}}}

2. 查找最后一个

循环方法：

public static int lastBS(int[] nums, int target) {if (nums == null || nums.length == 0) {return -1 ;}int start = 0;int end = nums.length - 1;int mid;while (start + 1 < end) {mid = (start + ((end - start) >> 1));<span style="white-space:pre"></span>if (target < nums[mid]) {end = mid;} else if (target > nums[mid]) {start = mid;} else {start = mid;}}if (nums[end] == target) {return end;} else if (nums[start] == target) {return start;} else {return -1;<span style="white-space:pre"></span>}}

递归方法：

public static int lastBS(int[] nums, int target, int start, int end) {if (nums == null || nums.length == 0) {return -1;}if (start + 1 < end) {int mid = start + ((end - start) >> 1);if (target < nums[mid]) {return lastBS(nums, target, start, mid);} else if (target > nums[mid]) {return lastBS(nums, target, mid, end);} else {return lastBS(nums, target, mid, end);}} else {if (nums[end] == target) {return end;} else if (nums[start] == target) {return start;} else {return -1;}}}

总结：

1. 循环方法和递归方法结构上类似：

1. 判断边界条件
2. 判断 start + 1 < end
3. 如果 target < nums[mid]，则 end = mid。 慎重使用 end = mid - 1
4. 如果 target > nums[mid]，则 start = mid。慎重使用 start = mid + 1
5. 如果 target == nums[mid]，找第一个 end = mid ；找最后一个 start = mid。这一步可以和上面合并在一起。
6. 判断 nums[start] 和 nums[end] 是否是要找的目标数字。找第一个先判断 nums[start]，找最后一个先判断 nums[end] 

2. 终止条件是 start 与 end 相邻。使用加减1时，start 和 mid 会重合，不好。

3. 计算 mid 时，使用 mid = (start + ((end - start) >> 1)) 可以防止 start + end 溢出。

4. 循环方法 mid 声明在 while循环外。如果只要找mid，则用break跳出循环。循环外要有return。

5. index 在加减1的时候考虑溢出。

6. 二分法的核心在于排除另一半。

7. 注意数组是否能保持有序，是否允许重复。无序数组只能遍历查找。

8. 旋转数组有特别的性质，两段都单调递增，第一段比第二段高，转点是最小值。用二分查找时关键在于排除另一半。

题目汇总：

1. Binary Search   查找第一个目标数字

2. Search Insert Position   查找第一个目标数字，最后根据位置判断。

3. Search for a Range   查找第一个和最后一个目标数字。

4. Search in Rotated Sorted Array 在旋转数组中找到目标数字，画图分析，二分排除。

5. Search in Rotated Sorted Array II 在含重复数字的旋转数组中找目标数字，无法基于二分查找进行优化，数组可看为无序，{2,2,3,2,2}， {3,2,2,2,3}。遍历查找即可。

6. Find Minimum in Rotated Sorted Array 在旋转数组中找到最小值，画图分析，二分排除，将转折点缩小范围到start 和 end。或者暴力求解。

7. Find Minimum in Rotated Sorted Array II 在含重复数字的旋转数组中找目标数字，无法基于二分查找进行优化，数组可看为无序。遍历查找即可。

8. First Bad Version 在boolean有序数组中找到第一个true，直接二分查找即可。

9. Find Peak Element 在多旋转数组中找一个波峰，只找mid，不用加减1。循环外要return。

10. Search a 2D Matrix 在矩阵中搜索目标数字。可以用多行二分搜索。或者右上角/左下角搜索。

11.  Search a 2D Matrix II 在矩阵中搜索目标数字的出现次数。可以用多行二分搜索。或者右上角/左下角搜索。

12. Sqrt(X) 求平方根。用二分搜索。注意乘法会溢出，改用除法。

13. Median of two Sorted Arrays 根据两个数组，求中位数。二分排除法。