组合c(m,n)的计算方法
来源:互联网 发布:wampserver 配置域名 编辑:程序博客网 时间:2024/05/31 19:28
问题:求解组合数C(n,m),即从n个相同物品中取出m个的方案数,由于结果可能非常大,对结果模10007即可。
方案1:
暴力求解,C(n,m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!,n<=15
这种方案的缺陷是,在计算过程中很快ans就溢出了,一般情况下,n不能超过12。补救办法之一是将先乘后除改为交叉地进行乘除,先除能整除的,但也只能满足n稍微增大的情况,n最多只能满足两位数。补救办法之二是换用高精度运算,这样结果不会有问题,只是需要实现大数相乘、相除和取模等运算,实现起来比较麻烦,时间复杂度为O(n)。
int Combination(int n, int m) { const int M = 10007; int ans = 1; for(int i=n; i>=(n-m+1); --i) ans *= i; while(m) ans /= m--; return ans % M; }
方案2:
打表,C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m),n<=10,000
由于组合数满足以上性质,可以预先生成所有用到的组合数,使用时,直接查找即可。生成的复杂度为O(n^2),查询复杂度为O(1)。较方案一而言,支持的数量级大有提升,在1秒内,基本能处理10000以内的组合数。算法的预处理时间较长,另外空间花费较大,都是平方级的,优点是实现简单,查询时间快。
[cpp] const int M = 10007; const int MAXN = 1000; int C[MAXN+1][MAXN+1]; void Initial() { int i,j; for(i=0; i<=MAXN; ++i) { C[0][i] = 0; C[i][0] = 1; } for(i=1; i<=MAXN; ++i) { for(j=1; j<=MAXN; ++j) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % M; } } int Combination(int n, int m) { return C[n][m]; }
方案3:
质因数分解,C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!),设n!分解因式后,质因数p的次数为a;对应地m!分解后p的次数为b;(n-m)!分解后p的次数为c;则C(n,m)分解后,p的次数为a-b-c。计算出所有质因子的次数,它们的积即为答案,即C(n,m)=p1 a1-b1-c1p2 a2-b2-c2…pk ak-bk-ck。n!分解后p的次数为:n/p+n/p 2+…+n/p k。
算法的时间复杂度比前两种方案都低,基本上跟n以内的素数个数呈线性关系,而素数个数通常比n都小几个数量级,例如100万以内的素数不到8万个。用筛法生成素数的时间接近线性。该方案1秒钟能计算 1kw数量级的组合数。如果要计算更大,内存和时间消耗都比较大。
#include <cstdio> const int maxn=1000000; #include <vector> using namespace std; bool arr[maxn+1]={false}; vector<int> produce_prim_number() { vector<int> prim; prim.push_back(2); int i,j; for(i=3;i*i<=maxn;i+=2) { if(!arr[i]) { prim.push_back(i); for(j=i*i;j<=maxn;j+=i) arr[j]=true; } } while(i<maxn) { if(!arr[i]) prim.push_back(i); i+=2; } return prim; } //计算n!中素数因子p的指数 int cal(int x,int p) { int ans=0; long long rec=p; while(x>=rec) { ans+=x/rec; rec*=p; } return ans; } //计算n的k次方对m取模,二分法 int pow(long long n,int k,int M) { long long ans=1; while(k) { if(k&1) { ans=(ans*n)%M; } n=(n*n)%M; k>>=1; } return ans; } //计算C(n,m) int combination(int n,int m) { const int M=10007; vector<int> prim=produce_prim_number(); long long ans=1; int num; for(int i=0;i<prim.size()&&prim[i]<=n;++i) { num=cal(n,prim[i])-cal(m,prim[i])-cal(n-m,prim[i]); ans=(ans*pow(prim[i],num,M))%M; } return ans; } int main() { int m,n; while(~scanf("%d%d",&m,&n),m&&n) { printf("%d\n",combination(m,n)); } return 0; }
方案四
Lucas定理,设p是一个素数(题目中要求取模的数也是素数),将n,m均转化为p进制数,表示如下:
满足下式:
即C(n,m)模p等于p进制数上各位的C(ni,mi)模p的乘积。利用该定理,可以将计算较大的C(n,m)转化成计算各个较小的C(ni,mi)。
该方案能支持整型范围内所有数的组合数计算,甚至支持64位整数,注意中途溢出处理。该算法的时间复杂度跟n几乎不相关了,可以认为算法复杂度在常数和对数之间。
#include <stdio.h>const int M = 10007;int ff[M+5]; //打表,记录n!,避免重复计算//求最大公因数int gcd(int a,int b){ if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b);}//解线性同余方程,扩展欧几里德定理int x,y;void Extended_gcd(int a,int b){ if(b==0) { x=1; y=0; } else { Extended_gcd(b,a%b); long t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; }}//计算不大的C(n,m)int C(int a,int b){ if(b>a) return 0; b=(ff[a-b]*ff[b])%M; a=ff[a]; int c=gcd(a,b); a/=c; b/=c; Extended_gcd(b,M); x=(x+M)%M; x=(x*a)%M; return x;}//Lucas定理int Combination(int n, int m){ int ans=1; int a,b; while(m||n) { a=n%M; b=m%M; n/=M; m/=M; ans=(ans*C(a,b))%M; } return ans;}int main(void){ int i,m,n; ff[0]=1; for(i=1;i<=M;i++) //预计算n! ff[i]=(ff[i-1]*i)%M; scanf("%d%d",&n, &m); printf("%d\n",func(n,m)); return 0;}
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