约瑟夫环问题

简介

约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3…n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后结果+1即为原问题的解。

编程解决思路

思路一 环形链表

很显然立马就会联想到用环形链表解决，很直观，编码也不会很难，控制好环形链表的头尾指针就好。(默认1号开始报数，可以添加参数K）

代码：

//链表解决，定义人结构体（链表节点）struct people{    int id;    struct people* next;};//n为人数，m为报号数字void Joseph(int n,int m){    int i ,j,no=0;    struct people first ; //建立第一个人    struct people* ring_head =&first;    struct people* ring_tail =&first;    struct people* pring =&first;    struct people* p_new =NULL;    first.id = 1;  //第一个人编号    for (i=2;i<=n;i++) //再创建剩下的N-1个人    {        struct people* p_new = (struct people*)malloc(sizeof(struct people));        p_new->id = i;        pring->next =  p_new;        pring = p_new;    }    //构成环状链表    pring->next = ring_head;  //最后一个人的next 指向第一个人    ring_tail = pring;  //尾指针指向最后一个人    //当还剩一个人时结束循环，否则一直按规则报数    while(ring_head!=ring_tail)    {        no++;//轮次        for(i=1;i<m;i++)        {            ring_head = ring_head->next; //下一个人继续报数            ring_tail = ring_tail->next;  //尾指针也要跟着移动        }        printf("现在是第%d次报数，我是第%d号同学，现在报到了%d号，退出游戏！",no,ring_head->id,m);            printf("\n");        //删除退出游戏的节点        ring_head = ring_head->next;         ring_tail->next = ring_head;    }    printf("现在是第%d次报数，我编号为%d，是最后一个同学，游戏结束！",no+1,ring_head->id,m);    printf("\n");}

思路二 数学推导递归解决

假设下标从0开始，0，1，2 .. m-1共m个人，从1开始报数，报到k则此人从环出退出，问最后剩下的一个人的编号是多少？

现在假设m=10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 k=3

第一个人出列后的序列为：

0 1 3 4 5 6 7 8 9

即:

3 4 5 6 7 8 9 0 1（*）

我们把该式转化为:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (**)

则你会发现: （(*)+3）%10则转化为()式了

也就是说，我们求出9个人中第9次出环的编号，最后进行上面的转换就能得到10个人第10次出环的编号了

设f(m,k,i)为m个人的环，报数为k，第i个人出环的编号，则f(10,3,10)是我们要的结果

当i=1时， f(m,k,i) = (m+k-1)%m

当i!=1时， f(m,k,i)= ( f(m-1,k,i-1)+k )%m

代码：

//约瑟夫环 （递归解决）int Joseph_r(int n,int m,int i){    if (i==1)    {        return (n+m-1)%n;    }    else    {        return (Joseph_r(n-1,m,i-1)+m)%n;    }}

测试代码 & 运行结果

//主函数中测试代码    //递归    for(i=1;i<=10;i++)        printf("第%2d次出环：%2d\n",i,Joseph_r(10,3,i)+1);    //环链    Joseph(10,3);

运行结果：