叉积

1.叉积判断线段拐向

如上图，可以通过计算向量的叉积来判断拐向，即判断（C-B）×（A-B）的符号。
#若（C-B）×（A-B）> 0 ，则CB在B点顺时针得到AB
#若（C-B）×（A-B）< 0 ，则CB在B点逆时针得到AB
#若（C-B）×（A-B）= 0 ，则A，B，C三点共线。

如图，我们给三个点A,B,C,判断沿着AB到BC，在B点是向右拐还是向左拐。并求出拐的 角度。这个先直接用叉积判断拐向，然后再余弦定理计算角度即可，
用180减去这个角度便是拐的角度。

2.叉积还有一个重要的用处，就是用来求面积。

叉积用来求面积，求出的是有向面积，也就是说带正负号，
不过再取一下绝对值就是真正的面积大小了。
比如求三角形ABC的面积，先计算出叉积cross(A,B,C)，
那么面积就是fabs（cross(A,B,C)）/ 2.0
为什么呢？
我们看一下叉积的定义就知道了，a与b的叉积模为：
|a×b|=|a| |b| sin(a,b)他的几何意义就是以a和b为邻边的平行四边形的面积。

 例1：(http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2036)

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <cmath>using namespace std;int main(){int n; int x[105],y[105]; while(cin>>n&&n!=0) {     double sum=0;     for(int i=0;i<n;i++)     {         cin>>x[i]>>y[i];     }     for(int i=1;i<n-1;i++)     {         sum+=(x[i]-x[0])*(y[i+1]-y[0])-(x[i+1]-x[0])*(y[i]-y[0]);     }     printf("%.1lf\n",fabs(sum)/2); }    //cout << "Hello world!" << endl;    return 0;}

例2：

判断点p是否在三角形内。
若在三角形内，则必有S.abc=S.abp+S.acp+S.bcp;若在三角形外，式子就不成立。

3.叉积能判断两直线是否相交。

对于给出的两条线段A1A2，B1B2，判断他们是否相交需要分两步
（1）快速排斥实验
设以线段A1A2和线段B1B2为对角线的矩形为M,N;
若M,N 不相交，则两个线段显然不相交；
判断矩形相交，只需判断某一矩形是否有顶点在另一个矩形内即可。
所以：只有当满足第一个条件时，两个线段才可能相交。
（2）跨立实验
如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方.若A1A2跨立B1B2，则矢量( A1 - B1 ) 和(A2-B1)位于矢量(B2-B1)的两侧，
即：（(A1-B1) × (B2-B1) ）·（ (A2-B1) × (B2-B1)）<0。
上式可以改写成：（(A1-B1) × (B2-B1)） · （(B2-B1) × (A2-B1)）>0。
当(A1-B1) × (B2-B1)=0时，说明A1B1和B2B1共线，但前面已经通过了快速排斥实验，所以A1一定在B1B2上，所以判断线段A1A2是否跨立B1B2的依据就是：
（(A1-B1) × (B2-B1)） · （(B2-B1) × (A2-B1)）>=0。
同理，判断线段B1B2是否跨立A1A2的依据是：（(B1-A1) × (A2-A1)） · （(A2-A1) × (B2-A1)）>=0。

图示：

例：(http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1086)

#include <iostream>#include <cmath>using namespace std;struct point{    double x,y;};double mult(point a,point b,point c){    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);}bool cross(point a,point b,point c,point d){    if(max(a.x,b.x)>=min(c.x,d.x)&&max(c.x,d.x)>=min(a.x,b.x)&&       max(a.y,b.y)>=min(c.y,d.y)&&max(c.y,d.y)>=min(a.y,b.y)&&       mult(d,a,c)*mult(d,c,b)>=0&&mult(a,c,b)*mult(a,b,d)>=0)       return true;    else       return false;}int main(){int n; point a[105],b[105]; int sum; while(cin>>n&&n) {     sum=0;    for(int i=0;i<n;i++)    {cin>>a[i].x>>a[i].y;     cin>>b[i].x>>b[i].y;}    for(int i=0;i<n-1;i++)    {      for(int j=i+1;j<n;j++)      {          if(cross(a[i],b[i],a[j],b[j]))          sum++;      }    }    cout<<sum<<endl; }    //cout << "Hello world!" << endl;    return 0;}