约瑟夫环问题

约瑟夫环（约瑟夫问题）是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。通常解决这类问题时我们把编号从0~n-1，最后结果+1即为原问题的解。

先给出一个通式：Y(1) = 0; Y(n) = (Y(n-1)+m)%n;

下面给出数学推导过程：

还未报数时编号为：0,1,2,...,n-1

第一次报数:

出列的人为:k = (m-1)%n;

此时的编号为:k,k+1,k+2,k+3,...,k-3,k-2

作如下变换:

k->0 (0+k)%n

k+1->1 (1+k)%n

k+2->2 (2+k)%n

k+3->3 (3+k)%n

...... ......

k-3->n-3 (n-3+k)%n

k-2->n-2 (n-2+k)%n

相当于把n个人的约瑟夫换问题转换为(n-1)个人的约瑟夫换问题，假设已经解出(n-1)个人的约瑟夫环问题的解为: Y(n-1),那么根据以上的映射原则: Y(n) = (Y(n-1)+k)%n==>

Y(n) = (Y(n-1) +m%n)%n ==> Y(n) = Y(n-1)%n +m%n%n ==> Y(n) = Y(n-1)%n +m%n ==> Y(n) = (Y(n-1) +m)%n

所以得到以下通式:

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Y(1) = 0

Y(n) = (Y(n-1) +m)%n(n>1)

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例如：要求10个人，报数为3出列，最后胜利者的编号。

public class YueSeFuHuanProblem{public static void main(String[] args){//假设有10个人，报到3出列，默认编号从0开始，如从一开始，结果加1即可。for (int i = 1; i < 11; i++){System.out.println("第"+i+"次出列的人的编号为："+yueSeFuHuan(10, 3, i));}}public static int yueSeFuHuan(int n,int m,int i){if(i==1)return (m-1+n)%n;elsereturn(yueSeFuHuan(n-1, m, i-1)+m)%n;}}/*结果：第1次出列的人的编号为：2第2次出列的人的编号为：5第3次出列的人的编号为：8第4次出列的人的编号为：1第5次出列的人的编号为：6第6次出列的人的编号为：0第7次出列的人的编号为：7第8次出列的人的编号为：4第9次出列的人的编号为：9第10次出列的人的编号为：3 */