POJ 1952 DP LIS求方案数

题意：给一个序列，求最长不上升子序列长度以及有多少个这样的子序列。注意：看起来相同的子序列被算作一种方案。例如：421421的方案为442，441，422，421，411五种。

对于需要求方案数的LIS，求长度时就老老实实用O(n^2)的DP算法吧。

f[i]表示以i为最后一个数的最长不上升子序列，if(a[i] <= a[j]) f[i] = max(f[i], f[j]+1),而max{f[i]}就是第一问的答案。这个很好说。

主要是方案数，题目要求看起来相同的是被算作一种的，我们先设d[i][j]为以i结尾，不上升子序列的长度为j的方案数。如果没有之前那个要求，那么d[i][j] = ∑ d[k][j-1](k < i && a[i] <= a[j])。

但是考虑到题目的要求，我们需要进行判重，可以这么想：在一个序列a1,a2……an中，如果有ai == aj(i < j)，那么d[j][t]肯定包括所有的d[i][t](0<t<=f[i])。也就是说我们对每个数本身进行判重，对于k，需要逆序枚举，如果枚举过将vis[a[k]]标记为1，我们只讲vis[a[k]] == 0的加到d[i][j]中即可，题目中也说明了数的大小是1<<16以内的，所以bool型数组是开得下的。

另外需要注意，在递归的过程中，如果d[i1][j1]枚举过k，把vis[a[k]]设为1，但是在另一个状态d[i2][j2](i2>k,i1>k)中，a[k]这个数是可以被再次访问的，就是说，对于每个d[i][j]都有独立的一个vis数组，但是在递归中是开不下的，会RE，所以就需要一个小技巧：每次递归开始就memset一下，相当于新声明了一个vis数组，当需要d[i][j] += d[k][j-1]时，先递归访问dp(k,j-1),再将vis[a[k]]设为1即可。

最后输出答案是d[n+1][ans+1]，我们假定a[n+1]是一个最小的数，最长不上升子序列长度加1。

或者直接写个循环，把长度为ans的累加即可，这个与dp(n+1,ans+1)这一层递归是等价的。

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;int n, ans, a[5005], f[5005], d[5005][5005];bool vis[(1<<16)+5];int dp(int i, int j){memset(vis, 0, sizeof vis);if(d[i][j]) return d[i][j];if(j == 1) return d[i][j] = 1;for(int k = i-1; k; k--){if(!vis[a[k]] && a[k] > a[i] && f[k] == j-1)d[i][j] += dp(k, j-1), vis[a[k]] = 1;}return d[i][j];}int main(){scanf("%d", &n);for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", a+i);f[i] = 1;for(int j = 1; j < i; j++)if(a[j] > a[i]) f[i] = max(f[i], f[j]+1);ans = max(ans, f[i]);}printf("%d %d", ans, dp(n+1, ans+1));}