HDOJ-3037（组合数学）

题意：将不超过m颗的相同的豆子放在n棵不同的树上，每棵树可以为空，求方案数mod p

1 <= n, m <= 1000000000, 1 < p < 100000,p是质数

题解：可以理解为有m颗豆子，在n棵树上放k颗，然后再加一棵树，放m-k颗，于是变成了m颗相同的豆子放在n+1棵不同树上的方案数。

也就是求a[1]+a[2]+a[3]+......+a[n+1]=m，(a[i]>=0)的方案数，但是这种情况并不好计算，我们可以让每一份都加上1，令b[i]=a[i]+1>=1, 则b[1]+b[2]+b[3]+......b[n+1]=m+n+1,

可以用插板法了，m+n+1个元素有m+n个空，分成n+1份就是插n个板子，所以答案就是C(n+m,m) %p

那么问题来了，n,m如此巨大，如何计算这个组合数呢？我们观察到p是质数且p比较小。我们可以用“Lucas定理”来解决！！！

附百度百科：

数论Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。

描述为:

Lucas(n,m,p)=cm(n%p,m%p)* Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

而

cm(a,b)=a! * (b!*(a-b)!)^(p-2) mod p

也= (a!/(a-b)!) * (b!)^(p-2)) mod p

这里，其实就是直接求 (a!/(a-b)!) / (b!) mod p

由于 (a/b) mod p = a * b^(p-2) mod p

code：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXP=100005;typedef long long ll;ll f[MAXP];ll mul(ll x, ll y, ll p){    ll res=0;    while(y)    {        if(y&1) res=(res+x)%p;        x=(x<<1)%p;        y>>=1;    }    return res;}void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){    if (!b)    {        d=a;        x=1;        y=0;    }    else    {        exgcd(b,a%b,d,y,x);        y-=a/b*x;    }}void initp(int p){    f[0]=f[1]=1;    for(int i=2;i<p;i++)f[i]=(f[i-1]*i)%p;}ll comb(ll n,ll m,ll p){    if(m>n) return 0;    ll ans=f[n];    ll g,x,y;    exgcd(f[m],p,g,x,y);    //ans=(ans*(x%p)%p+p)%p;    ans=mul(ans,(x%p)%p+p,p);    exgcd(f[n-m],p,g,x,y);    //ans=(ans*(x%p)%p+p)%p;    ans=mul(ans,(x%p)%p+p,p);    return ans;}//n取m，如果可能m>n请特判return 0;ll lucas(ll n,ll m,int p){    ll ans=1;    initp(p);    if(m>n) return 0;    while(n && m && ans)    {        //ans=comb(n%p,m%p,p)*ans%p;        ans=mul(comb(n%p,m%p,p),ans,p);        n/=p;        m/=p;    }    return ans;}void work(){    ll n,m,p,ans;    scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p);    ans=lucas(n+m,m,p);    printf("%I64d\n",ans);}int main(){    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--)        work();    return 0;}