第一讲，整数划分 JAVA 代码（分治实现之一）

来源：互联网发布：淘宝店铺怎么设置包邮编辑：程序博客网时间：2024/06/10 03:21

整数划分问题相信很多人都做过，题意是这样的：

将正整数n表示成一系列正整数之和，

n=n1+n2+,,,,,+nk(其中n1>=n2>=......>=nk>=1,k>1)

例如:正整数6有如下11种不同的划分，

6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5
6=2+2+2
6=2+4
6=3+3
6=6

这道题网上搜一大把解题方法，什么回溯法，动态规划等等都可以解出来，昨晚突然想到一个新的解题思路（可能网上已经有人发表过了，不过确实是自己突然发现的，如有雷同，纯属巧合O(∩_∩)O~）：

这道题的麻烦之处在于解题过程很容易产生重复的情况，不过只要按照下面的做法就不会出现重复的现象，

当对正整数N划分，有如下划分情况：

N=1+1+........+1

N=1+1+......+2

......

N=1+(N-1)

N=N

接下来如果对N+1(这里用M代替N+1)进行划分时，则在N划分的所有情况前面都加1即

M=1+1+1+........+1

M=1+1+1+......+2

.......

M=1+N

加完之后对每一个新的表达式做如下操作:

步骤1.当表达式的个数小于等于2个时(如:3=1+2表达式的个数为2个)，该表达式不作处理，判断下一个表达式，否则执行步骤2

步骤2.当表达式的个数大于2个时，对表达式的前两个数字求和(如:5=1+2+3,则前两个数即为1和2,)，如果和小于等于第三个数字时，则构造新的表达式,即将当前表达式的前两个数字合并，其他的保持一致:

如原来的表达式为：M=x1+x2+x3+....xn

则新的表达式为:M=(x1+x2) + x2+x3...+n

如果和大于第三个数字,如:7=2+2+3,前两个数字的和为4，大于第三个数字。则不作处理，跳到步骤1，判断下一个表达式

当全部的表达式(只包括前一个数字的表达式前面加1的那些表达式，不包括这个过程生成的新表达式)都执行完以上步骤之后，最终结果就只差一个了，即本身等于本身的情况，再加上该种情况即可

说的很不清楚，来点实际的吧：

如5的划分情况为：

5=1+1+1+1+1
5=1+1+1+2
5=1+1+3
5=1+2+2
5=1+4
5=2+3
5=5

现在求6的划分，则首先第一步，在5的每个表达式的前面都加1，则得到：

6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5

接着第二步，按顺序对每个表达式执行之前说的步骤1和步骤2。

1.对于表达式：6=1+1+1+1+1+1，满足步骤1，执行步骤2，因为前两个数相加1+1=2大于第三个数1，所以不作处理，继续判断表达式2

2.对于表达式: 6=1+1+1+1+2,6=1+1+1+3 同样不作处理，继续下一个表达式

3.对于表达式: 6=1+1+2+2,前两个求和：1+1=2等于第三个数，所以满足条件，生成新的有效表达式:6=2+2+2，继续下一个表达式

4.对于表达式: 6=1+1+4 , 6=1+2+3,同理，可以生成新的表达式:6=2+4,6=3+3

5.对于表达式: 6=1+5 不满足步骤1中的条件

6.全部表达式遍历完毕，结束，加上自身等于自身的情况，即:6=6

最终的结果就为:

6=1+1+1+1+1+1
6=1+1+1+1+2
6=1+1+1+3
6=1+1+2+2
6=1+1+4
6=1+2+3
6=1+5
6=2+2+2
6=2+4
6=3+3
6=6

终于写完了，其实思路很简单，但是要说清楚可真麻烦，根据这种思路，代码就可以写了，不过代码也不是很好写的，我这里用了最简单明了的代码完成以上功能，代码写的很不上档次，空间复杂度太高，有时间再优化，欢迎大牛拍砖！

[java]
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class IntegerSplit {
    private List<int[]> result = new ArrayList<int[]>();
    public void split(int m) {
        //初始化

        result.add(new int[]{1,1});
        result.add(new int[]{2});
        if (m == 1) {
            System.out.println("1=1");
            System.out.println("一共有:1种");
            return ;
        } else {
            for (int i = 3; i <= m; i++) {
                int size=result.size();
                for(int j=0;j<size;j++){
                    int[] ca=result.get(j);
                    int[] newca=new int[ca.length+1];
                    newca[0]=1;
                    System.arraycopy(ca, 0, newca, 1, ca.length);
                    ca=null;
                    ca=newca;
                    result.set(j, ca);
                    int[] cs=merger(ca);
                    if(cs!=null){
                        result.add(cs.clone());
                    }
                }
                result.add(new int[]{i});

            }
        }
        //打印结果
        for(int[] ca:result){
            System.out.print(m+"=");
            for(int p=0;p<ca.length-1;p++){
                System.out.print(ca[p]+"+");
            }
            System.out.print(ca[ca.length-1]);
            System.out.println();
        }
        System.out.println("一共有:"+result.size()+"种");

    }
    //合并
    public int[] merger(int[] ca) {
        if (ca.length <= 2)
            return null;
        if (ca[0] + ca[1] <= ca[2]) {
            int[] rca = new int[ca.length - 1];
            rca[0] = ca[0] + ca[1] ;
            System.arraycopy(ca, 2, rca, 1, ca.length - 2);
            return rca;
        }
        return null;
    }
    public static void main(String[] args) {
        new IntegerSplit().split(10);
    }
}

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class IntegerSplit {
private List<int[]> result = new ArrayList<int[]>();
public void split(int m) {
//初始化

  result.add(new int[]{1,1});
  result.add(new int[]{2});
  if (m == 1) {
   System.out.println("1=1");
   System.out.println("一共有:1种");
   return ;
  } else {
   for (int i = 3; i <= m; i++) {
    int size=result.size();
    for(int j=0;j<size;j++){
     int[] ca=result.get(j);
     int[] newca=new int[ca.length+1];
     newca[0]=1;
     System.arraycopy(ca, 0, newca, 1, ca.length);
     ca=null;
     ca=newca;
     result.set(j, ca);
     int[] cs=merger(ca);
     if(cs!=null){
      result.add(cs.clone());
     }
    }
    result.add(new int[]{i});

   }
  }
  //打印结果
  for(int[] ca:result){
   System.out.print(m+"=");
   for(int p=0;p<ca.length-1;p++){
    System.out.print(ca[p]+"+");
   }
   System.out.print(ca[ca.length-1]);
   System.out.println();
  }
  System.out.println("一共有:"+result.size()+"种");

}
//合并
public int[] merger(int[] ca) {
  if (ca.length <= 2)
   return null;
  if (ca[0] + ca[1] <= ca[2]) {
   int[] rca = new int[ca.length - 1];
   rca[0] = ca[0] + ca[1] ;
   System.arraycopy(ca, 2, rca, 1, ca.length - 2);
   return rca;
  }
  return null;
}
public static void main(String[] args) {
  new IntegerSplit().split(10);
}
}
输出:

[java]
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+2
10=1+1+1+1+1+1+1+3
10=1+1+1+1+1+1+2+2
10=1+1+1+1+1+1+4
10=1+1+1+1+1+2+3
10=1+1+1+1+1+5
10=1+1+1+1+2+2+2
10=1+1+1+1+2+4
10=1+1+1+1+3+3
10=1+1+1+1+6
10=1+1+1+2+2+3
10=1+1+1+2+5
10=1+1+1+3+4
10=1+1+1+7
10=1+1+2+2+2+2
10=1+1+2+2+4
10=1+1+2+3+3
10=1+1+2+6
10=1+1+3+5
10=1+1+4+4
10=1+1+8
10=1+2+2+2+3
10=1+2+2+5
10=1+2+3+4
10=1+2+7
10=1+3+3+3
10=1+3+6
10=1+4+5
10=1+9
10=2+2+2+2+2
10=2+2+2+4
10=2+2+3+3
10=2+2+6
10=2+3+5
10=2+4+4
10=2+8
10=3+3+4
10=3+7
10=4+6
10=5+5
10=10
一共有:42种

10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+2
10=1+1+1+1+1+1+1+3
10=1+1+1+1+1+1+2+2
10=1+1+1+1+1+1+4
10=1+1+1+1+1+2+3
10=1+1+1+1+1+5
10=1+1+1+1+2+2+2
10=1+1+1+1+2+4
10=1+1+1+1+3+3
10=1+1+1+1+6
10=1+1+1+2+2+3
10=1+1+1+2+5
10=1+1+1+3+4
10=1+1+1+7
10=1+1+2+2+2+2
10=1+1+2+2+4
10=1+1+2+3+3
10=1+1+2+6
10=1+1+3+5
10=1+1+4+4
10=1+1+8
10=1+2+2+2+3
10=1+2+2+5
10=1+2+3+4
10=1+2+7
10=1+3+3+3
10=1+3+6
10=1+4+5
10=1+9
10=2+2+2+2+2
10=2+2+2+4
10=2+2+3+3
10=2+2+6
10=2+3+5
10=2+4+4
10=2+8
10=3+3+4
10=3+7
10=4+6
10=5+5
10=10
一共有:42种

另外加多一段只求划分总数，不求过程的代码:

[java]
public class ZSHF {
    public static int q(int n,int m){
        if(n<1||m<1)return 0;
        if(n==1||m==1)return 1;
        if(n<m)return q(n,n);
        if(n==m)return q(n,m-1)+1;
        return q(n,m-1)+q(n-m,m);
    }
    public static void main(String[] args) {
        int number=10;
        int result=q(number,number);
        System.out.println("对整数"+number+"的划分一共有:"+result+"种");

    }
}

public class ZSHF {
public static int q(int n,int m){
  if(n<1||m<1)return 0;
  if(n==1||m==1)return 1;
  if(n<m)return q(n,n);
  if(n==m)return q(n,m-1)+1;
  return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
public static void main(String[] args) {
  int number=10;
  int result=q(number,number);
  System.out.println("对整数"+number+"的划分一共有:"+result+"种");

}
}
输出结果:

[java]
对整数10的划分一共有:42种

0 0