HDU 1025 最长递增子序列 DP+二分法

   HDU 1025

题目看起来很长，实际上就是求 最长递增子序列

O(n^2)的算法就不说了，这题O(n^2)也过不了。另外此题的输出格式值得注意，想当然的话很容易PE。

O(nlogn)算法：

之前的想法一直是dp[i]中的i表示第i个数时的状态。从来没想过表示子序列长度为i时的状态。

另dp[i] 表示子序列长度为i时，子序列最后一个数的值。并且这个值在当前状态而言，对于长度为i的递增子序列是最优的。

当前状态  指的是遍历到第j个数时的状态

最优  指的是dp[i]的值最小。

如序列：1，3，2，5，4 。  

长度为2的序列可以是1，3或1，2或1，5或1，4  最小的末尾数是2，所以dp[2] = 2

长度为3的序列可以是1，3，5或1，3，4或1，2，5或1，2，4 所以dp[3] = 4

另k为目前最长递增子序列的长度。

每次加入下一个数a[j]

若a[j]大于dp[k]，则dp[++k] = a[j]

若a[j]小于dp[k]， 则用二分法索引a[j]在dp序列中所排的位置，如a[j]在 dp[t]和dp[t + 1] 之间，另dp[t + 1] = a[j]

通过不断加入下一个数，来更新dp的值。使每个dp的值都始终保持最优。

保持最优的目的：

如dp[3] = 25，dp[4] = 50，dp[5] = 100    然后我们连续加入3个数，45，46，47.

加入45时，我们更新了dp[4]的值为45。加入46时我们更新了dp[5]的值为46。加入47时我们得到dp[6] = 47。

可以看到，通过更新dp[4]，dp[5]的值，我们才得到最后dp[6]。如果我们未更新，那么加入47时我们仍然只有dp[5]

所以说保持dp最优的目的在于总能找到最长递增子序列。

若对二分法不了解，直接百度二分法。

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>int n,a[500003],i,j,d[500003],k;int find(int b){int mid,s,w;s = 0,w = k;while(s <= k){mid = (s + w)/2;if(b <= d[mid + 1] && b >= d[mid]){return mid + 1;}else if(b > d[mid]) s = mid ;else w = mid ;}}int main(){int count = 0;a[0] = 0;while(~scanf("%d",&n)){i = n;k = 0;while(i--){scanf("%d",&j);scanf("%d",&a[j]);}for(i = 1; i <= n; i++){if(a[i] > d[k]){d[++k] = a[i];}else {d[find(a[i])] = a[i];}}printf("Case %d:\n",++count);if(k == 1) printf("My king, at most %d road can be built.\n\n",k);else printf("My king, at most %d roads can be built.\n\n",k);} return 0;}