[leetcode] 96. Unique Binary Search Trees 解题报告

题目链接：https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \      \     3     2     1      1   3      2    /     /       \                 \   2     1         2                 3

思路: 可以用记忆化搜索, 即当我们以一个数为根节点的时候, 问题就分割成了左右两个子集, 然后再继续解决子问题合并成当前问题的解. 如果直接搜索会有很多重复的解, 因此可以边搜索边记录.

代码如下:

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        if(n <= 1) return 1;        if(hash.count(n)) return hash[n];        int cnt = 0;        for(int i = 1; i<= n; i++)         {            int left = numTrees(i-1), right = numTrees(n-i);            hash[i-1] = left, hash[n-i] = right;             cnt += left*right;        }        hash[n] = cnt;        return cnt;    }private:    unordered_map<int, int> hash;};

这样问题还可以转化成动态规划的问题. 可以看到这是一个中序有序的二叉树，根据二叉搜索树的性质，一个节点左子树值都要比本身小，右子树节点值都比本身大。以一个节点为根能产生的有效的树的数量由左右子树的数量决定，即假设左子树数量为a，右子树数量为b，则以此节点为根的树的数量为a*b。对于一个n，从1 - n均可作为结点，因此把从1-n作为结点产生的树的数量相加即可得到n的所有子树的数量。状态转移方程为：dp[n] = sum(dp[i-1] * dp[n-i]), 1 <= i <= n。

具体代码如下：

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        vector<int> dp(n+1);        dp[0] = dp[1] = 1;        for(int i = 2; i<= n; i++)        {            for(int j = 1; j<= i; j++)            {                int cnt = dp[j-1]*dp[i-j];//以j为根，节点总数为i能产生的子树数量                dp[i] += cnt;            }        }        return dp[n];    }};

参考：https://siddontang.gitbooks.io/leetcode-solution/content/dynamic_programming/unique_binary_search_trees.html