LintCode 不同的二叉查找树

不同的二叉查找树

给出 n，问由 1…n 为节点组成的不同的二叉查找树有多少种？

给出n = 3，有5种不同形态的二叉查找树：

1          3     3      2      1 \        /     /      / \      \  3      2     1      1   3      2 /      /       \                 \2     1          2                 3

Solution：
对于该问题我们可以使用动态规划来求解。。对于动态规划问题我们需要确定问题的状态和状态转换方程。

首先我们来确定问题的状态：给定i(1≤i≤n), 由1...i组成的不同的二叉查找树有f(i)种。
因此，
当 i=1 时 , 只有一个节点，f(1)=1.
当 i=2 时，存在两个节点1, 2。当以2作为根节点是只有1中，以1作为根节点时也只有1种，因此总共有2种。
当i=3 时，存在三个节点1，2，3。我们来进行详细的叙述。
以3根节点时。其它的节点1,2只能在左子树。及

      3     /  {1, 2}, 此时就转换成了{1，2}有多少种二叉树。因此，3为根节点时有2中不同的二叉树   

以2为根节点时，节点3只能在右子树，节点1只能在左子树。及

          2         / \      {1}  {3}, 由于左子树只有一个节点因此只有1种，同样右子树也只有1中。因此2为根节点有1x1=1种。

以1为根节点时，节点{2,3}只能在右子树。及

   1    \    {2,3}, 此时就变成{2,3}有多少种二叉树{2，3}=f(2)。因此1为根节点有2种。

因此有f(3) = 2 + 1 + 2 = 5种。

分析到这里状态转换方程应该很容易写出来了吧?!
对于i, 以k(1≤k≤i)作为根节点, 左子树的节点为1,...,k−1共有k−1个节点，右子树的节点为k+1,...,i共有i−k个节点。因此，状态装换方程为
f(i)=∑ik=1f(k−1)×f(i−k)
注意：边界条件f(0)=1
上述等式还可以继续进行优化，这里不再详细叙述。详见代码.

public class Solution {    /**     * @paramn n: An integer     * @return: An integer     */    public int numTrees(int n) {        // write your code here        int [] res = new int[n+1];        res[0] = 1;        for (int i = 1; i <= n; ++i) {            for (int j = i-1; j >= i/2; --j) {                if (i%2==1 && j == i/2)                    res[i] += res[j] * res[i-j-1];                else                    res[i] += res[j] * res[i-j-1]*2;            }        }        return res[n];    }}